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设f(x)在区间[0,+∞)内二阶可导,且在x=1处与曲线y=x3一3相切,f(x)在(0,+∞)内与曲线y=x3一3有相同的凹向,求方程f(x)=0在(1,+∞)内实根的个数.
设f(x)在区间[0,+∞)内二阶可导,且在x=1处与曲线y=x3一3相切,f(x)在(0,+∞)内与曲线y=x3一3有相同的凹向,求方程f(x)=0在(1,+∞)内实根的个数.
admin
2019-02-26
26
问题
设f(x)在区间[0,+∞)内二阶可导,且在x=1处与曲线y=x
3
一3相切,f(x)在(0,+∞)内与曲线y=x
3
一3有相同的凹向,求方程f(x)=0在(1,+∞)内实根的个数.
选项
答案
由y’=3x
2
, y’(1)=3,及曲线y=f(x)与y=x
3
一3相切可知,f’(1)=3, f(1)=y(1)=一2. 由曲线y=f(x)与y=x
3
一3在(0,+∞)内有相同的凹向,以及y’’=6x>0,可知, f’’(x)>0,x∈(0,+∞). 由台劳公式 [*] 即存在M>0,当x
0
>M时,使得f(x
0
)>0. 于是,f(x)在[1,x
0
]上连续,且f(1)=-2<0,f(x
0
)>0.由零值定理,在(1,x
0
)内至少存在一点ξ,使f(ξ)=0. 由f’’(x)>0,x∈(0,+∞),可知在(0,+∞)内f’(x)单调增加. 再由f’(x)>f’(0)=0,知f(x)在(0,+∞)内单调增加,故f(x)=0在(0,+∞)内仅 有一个根.
解析
由f(x)二阶可导及台劳公式可得f(x)的解析式,然后用零值定理.
若f
(n)
(x)>0,x∈(a,b),则f
(n-1)
(x)在(a,b)内单调增加.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/YT04777K
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考研数学一
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