2. 考研
  3. 设A=E+ααT，其中α=(a1，a2，a3)T，且αTα=2，求A的特征值和特征向量．

设A=E+ααT，其中α=(a1，a2，a3)T，且αTα=2，求A的特征值和特征向量．

admin2019-12-26  21
问题 设A=E+ααT，其中α=(a1，a2，a3)T，且αTα=2，求A的特征值和特征向量．
选项
答案由Aα=(E+ααT)α=α+ααTα=3α，于是得A的特征值λ1=3，其对应的特征向量为k1α，k1≠0为常数． 又由A=E+ααT，得A－E=ααT，两边取行列式|A－E|=|ααT|=0，由此知λ2=1是A的另一个特征值． 再由矩阵A的特征值的性质，trA=λ1+λ2+λ3=4+λ3，从而λ1=trA－4=3+αTα－4=1． 由于λ2=λ3=1，对应的特征矩阵为A－E，由题设条件α=(a1，a2，a3)T≠0，不妨设a1≠0，则 [*] 由此得方程组(A－E)x=0的同解方程组为 a1x1=－a2x2－a3x3， 解得λ2=λ3=1对应的特征向量为x=k2(－a2，a1，0)T+k3(－a3，0，a1)T，其中k2，k3是不同时为零的任意常数．
解析
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考研数学三

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