2. 考研
  3. (03年)已知齐次线性方程组 其中≠0．试讨论a1，a2，…，an和b满足何种关系时， (1)方程组仅有零解； (2)方程组有非零解．在有非零解时，求此方程组的一个基础解系．

(03年)已知齐次线性方程组 其中≠0．试讨论a1，a2，…，an和b满足何种关系时， (1)方程组仅有零解； (2)方程组有非零解．在有非零解时，求此方程组的一个基础解系．

admin2021-01-25  125
问题 (03年)已知齐次线性方程组

    其中≠0．试讨论a1，a2，…，an和b满足何种关系时，
    (1)方程组仅有零解；
    (2)方程组有非零解．在有非零解时，求此方程组的一个基础解系．
选项
答案方程组的系数行列式 [*] 为一“行和”相等行列式，将各列加至第1列，然后提取第1列的公因子(b＋[*]ai)，再将第1列的(－ai)倍加至第i列(i＝2，…，n)，就将行列式化成了下三角行列式： [*] (1)当｜A｜≠0，即b≠0且b＋[*]≠0时，方程组仅有零解； (2)当b＝0时，原方程组的同解方程组为 a1χ1＋a2χ2＋…＋anχn＝0， 由[*]≠0知a1，a2，…，an不全为零，不妨设a1≠0，则得原方程组的用自由未知量表示的通解为 [*] 由此得方程组的一个基础解系为 [*] 当b＝－[*]时，有b≠0，对原方程组的系数矩阵A作初等行变换：将第1行的(－1)倍分别加至第2，3，…，n行，得 [*] 用[*]乘第i行(i＝2，3，…，n)，得 [*] 将第i行的(－ai)倍加至第1行(i＝2，3，…，n)，并利用b＋[*]＝0，得 [*] 因此得原方程组的用自由未知量表示的通解为 χ2＝χ1，χ3＝χ1，…，χn＝χ1，(χ1任意) 令χ1＝1，则得原方程组的一个基础解系为 α＝(1，1，…，1)T．
解析
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考研数学三

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