(03年)已知齐次线性方程组 其中≠0.试讨论a1,a2,…,an和b满足何种关系时, (1)方程组仅有零解; (2)方程组有非零解.在有非零解时,求此方程组的一个基础解系.

admin2021-01-25  78

问题 (03年)已知齐次线性方程组

    其中≠0.试讨论a1,a2,…,an和b满足何种关系时,
    (1)方程组仅有零解;
    (2)方程组有非零解.在有非零解时,求此方程组的一个基础解系.

选项

答案方程组的系数行列式 [*] 为一“行和”相等行列式,将各列加至第1列,然后提取第1列的公因子(b+[*]ai),再将第1列的(-ai)倍加至第i列(i=2,…,n),就将行列式化成了下三角行列式: [*] (1)当|A|≠0,即b≠0且b+[*]≠0时,方程组仅有零解; (2)当b=0时,原方程组的同解方程组为 a1χ1+a2χ2+…+anχn=0, 由[*]≠0知a1,a2,…,an不全为零,不妨设a1≠0,则得原方程组的用自由未知量表示的通解为 [*] 由此得方程组的一个基础解系为 [*] 当b=-[*]时,有b≠0,对原方程组的系数矩阵A作初等行变换:将第1行的(-1)倍分别加至第2,3,…,n行,得 [*] 用[*]乘第i行(i=2,3,…,n),得 [*] 将第i行的(-ai)倍加至第1行(i=2,3,…,n),并利用b+[*]=0,得 [*] 因此得原方程组的用自由未知量表示的通解为 χ2=χ1,χ3=χ1,…,χn=χ1,(χ1任意) 令χ1=1,则得原方程组的一个基础解系为 α=(1,1,…,1)T

解析
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