求下列函数f(x)在x=0处带拉格朗日余项的n阶勒公式： (Ⅰ)f(x)=； (Ⅱ)f(x)=exsinx．

admin2016-10-26 38

问题求下列函数f(x)在x=0处带拉格朗日余项的n阶勒公式：
(Ⅰ)f(x)=

；
(Ⅱ)f(x)=e^xsinx．

选项

答案(Ⅰ)由f(x)=[*]，可得对m=1，2，3，…有 f^(m)(x)=2(－1)^(m)m![*]f^(m)(0)=2(－1)^mm!．故 f(x)=1－2x+2x²－…+2(－1)ⁿxⁿ+2(－1)ⁿ⁺¹[*]． (Ⅱ)用归纳法求出f⁽ⁿ⁾(x)的统一公式． f′(x)=e^x(sinx+cosx)=[*]， f″(x)=[*]，可归纳证明 f⁽ⁿ⁾(x)=[*]，n=1，2，…，因此 [*]

解析通过求f(0)，f′(0)，…，f⁽ⁿ⁾(0)及f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)而得．

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