[2008年] 设函数f(x)连续，若F(u，v)=dxdy，其中区域Duv为图1．5．2．1中阴影部分，则=( )．

admin2019-05-10 72

问题 [2008年] 设函数f(x)连续，若F(u，v)=

dxdy，其中区域D_uv为图1．5．2．1中阴影部分，则

=( )．

选项 A、vf(u²)
B、

f(u²)
C、vf(u)
D、

f(u)

答案A

解析用极坐标变换将二重积分F(u，v)先化为极坐标系下D_uv(见图1．5．2．1)上的二重积分，其中D_uv={(r，θ)∣ 0≤θ≤v，1≤r≤u}，再化为变上限的定积分并可以对u求导数的形式．
F(u，v)=∫₀^vdθ∫₁^u

rdr=v∫₁^uf(r²)dr，
于是由变限积分求导法则，得到

=vf(u²)．仅(A)入选．

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