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在x=0处展开下列函数至括号内的指定阶数: (Ⅰ)f(x)=tanx(x3); (Ⅱ)f(x)=sin(sinx)(x3).
在x=0处展开下列函数至括号内的指定阶数: (Ⅰ)f(x)=tanx(x3); (Ⅱ)f(x)=sin(sinx)(x3).
admin
2017-03-15
64
问题
在x=0处展开下列函数至括号内的指定阶数:
(Ⅰ)f(x)=tanx(x
3
);
(Ⅱ)f(x)=sin(sinx)(x
3
).
选项
答案
(Ⅰ)设tanx=A
0
+A
1
x+A
2
x
2
+A
3
x
3
+o(x
3
)=A
1
x+A
3
x
3
+o(x
3
)(tanx为奇函数,A
0
=0,A
2
=0),又tanx=[*],则 [A
1
x+A
3
x
3
+o(x
3
)][1-[*]x
2
+o(x
3
)]=x-[*]x
3
+o(x
3
), 即 A
1
x+(A
3
-[*]A
1
)x
3
+o(x
3
)=x-[*]x
3
+o(x
3
). 比较系数可得A
1
=1,A
3
-[*]A
1
=[*]A
1
=1,A
3
=[*] 因此tanx=x+[*]x
3
+o(x
3
). (Ⅱ)已知sinu=u-[*]u
3
+o(u
3
)(u→0),令u=sinx[*] sin(sinx)=sinx-[*]sin
3
x+o(sin
3
x). 再将sinx=x-[*]x
3
+o(x
3
),代入得 sin(sinx)=(x-[*]x
3
+o(x
3
).
解析
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考研数学一
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