2. 考研
  3. 已知3阶矩阵A=有一个二重特征值，求a，并讨论A是否相似于对角矩阵．

已知3阶矩阵A=有一个二重特征值，求a，并讨论A是否相似于对角矩阵．

admin2019-06-28  57
问题 已知3阶矩阵A=有一个二重特征值，求a，并讨论A是否相似于对角矩阵．
选项
答案(1)求a． A的特征多项式为 [*] 要使得它有二重根，有两种可能的情况： ①2是二重根，即2是λ2－8λ+18+3a的根，即4－16+18+3a=0，求出a=一2，此时三个特征值为2，2，6． ②2是一重根，则λ2－8λ+18+3a有二重根，λ2－8λ+18+3a=(x－4)2，求出a=－2／3．此时三个特征值为2，4，4． (2)讨论A是否相似于对角矩阵． ①当a=－2时，对二重特征值2，考察3－r(A－2E)是否为2？即r(A－2E)是否为1 A－2E=[*]，r(A－2E)=1，此时A可相似对角化 ②当a=－2／3时，对二重特征值4，考察3－r(A－4E)是否为2？即r(A－4E)是否为1 A－4E=[*]，r(A－4E)=2，此时A不相似于对角矩阵．
解析
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考研数学二

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