[2006年] 求幂级数的收敛域及和函数S(x)．

admin2019-03-30 40

问题 [2006年] 求幂级数

的收敛域及和函数S(x)．

选项

答案(1)所给级数为缺项的幂级数(缺偶次项)．设该级数为[*]由 [*] 得到|x|＜1，即－1＜x＜1为其收敛区间．当x=－1时，原幂级数化为数项级数[*]此为交错级数，易验证它满足莱布尼茨条件，故在x=－1处收敛．当x=1时，原幂级数化为[*]也收敛，故原幂级数的收敛域为[－1，1]． (2)下面求和函数，可用两法求之．先用拆项法求之．解一设 [*] 解二用先求导后积分的方法求之．为方便计，设[*] 则S(x)=2xS₁(x)．下面求S₁(x)．因[*] 其中x∈(－1，－1)．由S₁(0)=0，S₁’(0)=0，S₁"(0)=0，故 [*] 由(1)知道，所给级数在x=±1处都收敛，且S(x)=xarctanx－xln(1+x²)在x=±1 处都连续，故S(x)在x=±1处成立，即 S(x)=2xS₁(x)=2x²arctanx－xln(1+x²)， x∈[－1，1]．

解析

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考研数学三

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