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[2006年] 求幂级数的收敛域及和函数S(x).
[2006年] 求幂级数的收敛域及和函数S(x).
admin
2019-03-30
32
问题
[2006年] 求幂级数
的收敛域及和函数S(x).
选项
答案
(1)所给级数为缺项的幂级数(缺偶次项).设该级数为[*]由 [*] 得到|x|<1,即-1<x<1为其收敛区间. 当x=-1时,原幂级数化为数项级数[*]此为交错级数,易验证它满足莱布尼茨条件,故在x=-1处收敛. 当x=1时,原幂级数化为[*]也收敛,故原幂级数的收敛域为[-1,1]. (2)下面求和函数,可用两法求之.先用拆项法求之. 解一 设 [*] 解二 用先求导后积分的方法求之.为方便计,设[*] 则S(x)=2xS
1
(x).下面求S
1
(x). 因[*] 其中x∈(-1,-1).由S
1
(0)=0,S
1
’(0)=0,S
1
"(0)=0,故 [*] 由(1)知道,所给级数在x=±1处都收敛,且S(x)=xarctanx-xln(1+x
2
)在x=±1 处都连续,故S(x)在x=±1处成立,即 S(x)=2xS
1
(x)=2x
2
arctanx-xln(1+x
2
), x∈[-1,1].
解析
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考研数学三
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