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设f(x)是在[a,b]上连续且严格单调的函数,在(a,b)内可导,且f(a)=a<b=f(b). 证明:存在ξi∈(a,b)(i=1,2,…,n),使得1/n1/f’(ξi)=1.
设f(x)是在[a,b]上连续且严格单调的函数,在(a,b)内可导,且f(a)=a<b=f(b). 证明:存在ξi∈(a,b)(i=1,2,…,n),使得1/n1/f’(ξi)=1.
admin
2018-05-21
35
问题
设f(x)是在[a,b]上连续且严格单调的函数,在(a,b)内可导,且f(a)=a<b=f(b).
证明:存在ξ
i
∈(a,b)(i=1,2,…,n),使得1/n
1/f’(ξ
i
)=1.
选项
答案
令h=[*],因为f(x)在[a,b]上连续且单调增加,且f(a)=a<b=f(b), 所以f(a)=a<a+h<…<a+(n-1)h<b=f(b),由端点介值定理和函数单调性, 存在a<c
1
<c
2
<…<c
n-1
<b,使得 f(c
1
)=a+h,f(c
2
)=a+2h,…,f(c
n-1
)=a+(n-1)h,再由微分中值定理,得 f(c
1
)-f(a)=f’(ξ
1
)(c
1
-a),ξ
1
∈(a,c
1
), f(c
2
)-f(c
1
)=f’(ξ
2
)(c
2
-c
1
),ξ
2
∈(c
1
,c
2
),… f(b)-f(c
n-1
)=f’(ξ
n
)(b-c
n-1
),ξ
n
∈(c
n-1
,b), [*]
解析
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考研数学一
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