2. 考研
  3. 设f(x)是在[a，b]上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且f(a)=a＜b=f(b)． 证明：存在ξi∈(a，b)(i=1，2，…，n)，使得1／n1／f’(ξi)=1．

设f(x)是在[a，b]上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且f(a)=a＜b=f(b)． 证明：存在ξi∈(a，b)(i=1，2，…，n)，使得1／n1／f’(ξi)=1．

admin2018-05-21  24
问题 设f(x)是在[a，b]上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且f(a)=a＜b=f(b)．
证明：存在ξi∈(a，b)(i=1，2，…，n)，使得1／n1／f’(ξi)=1．
选项
答案令h=[*]，因为f(x)在[a，b]上连续且单调增加，且f(a)=a＜b=f(b)， 所以f(a)=a＜a+h＜…＜a+(n－1)h＜b=f(b)，由端点介值定理和函数单调性， 存在a＜c1＜c2＜…＜cn－1＜b，使得 f(c1)=a+h，f(c2)=a+2h，…，f(cn－1)=a+(n－1)h，再由微分中值定理，得 f(c1)－f(a)=f’(ξ1)(c1－a)，ξ1∈(a，c1)， f(c2)－f(c1)=f’(ξ2)(c2－c1)，ξ2∈(c1，c2)，… f(b)－f(cn－1)=f’(ξn)(b－cn－1)，ξn∈(cn－1，b)， [*]
解析
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考研数学一

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