求下列幂级数的和函数：

admin2016-10-20 79

问题求下列幂级数的和函数：

选项

答案(Ⅰ)易知幂级数收敛域为(-1，1)．记S(x)=[*]．则 [*] 对上式两边求导，得和函数 [*] 故只要消去系数中的因子n便可以使用e^x的展开式求和．幂级数的收敛域为(-∞，+∞)．和函数 [*] 把g(x)的幂级数表达式作逐项积分，可得 [*] 所以 g(x)=(xe^x)’=(1+x)e^x， S(x)=xg(x)=(x+x²)e^x (-∞＜x＜+∞)． (Ⅲ)利用逐项求导两次去掉幂级数的通项[*]的分母n(2n+1)，化为几何级数求和函数．计算可得幂级数[*]的收敛半径R=1，收敛域是[-1，1]，设其和函数为S(x)，则 [*] 为便于利用逐项求导去掉幂级数通项的分母n(2n+1)化为几何级数求和，可引入幂级数[*]，这个幂级数的收敛半径也是R=1，收敛域也是[-1，1]，设其和函数为S₁(x)，则 [*] 且S₁(0)=S’₁(0)=0．在开区间(-1，1)内逐项求导两次可得 [*]

解析

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考研数学三

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