求下列幂级数的和函数:

admin2016-10-20  31

问题 求下列幂级数的和函数:

选项

答案(Ⅰ)易知幂级数收敛域为(-1,1).记S(x)=[*].则 [*] 对上式两边求导,得和函数 [*] 故只要消去系数中的因子n便可以使用ex的展开式求和. 幂级数的收敛域为(-∞,+∞).和函数 [*] 把g(x)的幂级数表达式作逐项积分,可得 [*] 所以 g(x)=(xex)’=(1+x)ex, S(x)=xg(x)=(x+x2)ex (-∞<x<+∞). (Ⅲ)利用逐项求导两次去掉幂级数的通项[*]的分母n(2n+1),化为几何级数求和函数. 计算可得幂级数[*]的收敛半径R=1,收敛域是[-1,1],设其和函数为S(x),则 [*] 为便于利用逐项求导去掉幂级数通项的分母n(2n+1)化为几何级数求和,可引入幂级数[*],这个幂级数的收敛半径也是R=1,收敛域也是[-1,1],设其和函数为S1(x),则 [*] 且S1(0)=S’1(0)=0.在开区间(-1,1)内逐项求导两次可得 [*]

解析
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