[2008年] 设A为三阶矩阵,α1,α2为A的分别属于特征值一1,1的特征向量.向量a 3满足Aα3=α2+α3.(1)证明α1,α2,α3线性无关;(2)令P=[α1,α2,α3],求P-1AP.

admin2019-05-10  597

问题 [2008年]  设A为三阶矩阵,α1,α2为A的分别属于特征值一1,1的特征向量.向量a 3满足Aα323.(1)证明α1,α2,α3线性无关;(2)令P=[α1,α2,α3],求P-1AP.

选项

答案(1)用反证法产生与α1,α2线性无关的矛盾证之.(2)注意到Aα1,Aα2,Aα3可写成α1,α2,α3的线性组合.由命题2.1.2.3知,可将矩阵[Aα1,Aα2,Aα3]改写成矩阵[α1,α2,α3]与另一数字矩阵的乘积,利用前者的可逆性即可求得P-1AP. (1)用反证法证明.如果α1,α2,α3线性相关,因α1,α2属于A的不同特征值的特征向量,故线性无关.于是α3可由α1,α2线性表出.设α3=l1α1+l2α2,则 Aα3232+l1α1+l2α2=(1+l22+l1α1. 又 Aα3=A(l1α1+l2α2)=l11+l22=一l1α1+l2α2, 故 l1α1+(1+l22=一l1α1+l2α2, 即 2l1α12=0, 所以α1,α2线性相关,与题设α1,α2线性无关,矛盾.于是α1,α2,α3线性无关. (2)因Aα1=一α1,Aα22,Aα323,故Aα1,Aα2,Aα3为α1,α2,α3的线性组合, 由命题2.1.2.3得到 A=[α1,α2,α3]=[Aα1,Aα2,Aα3]=[一α1,α2,α33]=[α1,α2,α3][*] 即AP=P[*],又由(1)知,P可逆,故P-1AP=[*].

解析
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