[2008年] 设A为三阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量．向量a 3满足Aα3=α2+α3．(1)证明α1，α2，α3线性无关；(2)令P=[α1，α2，α3]，求P-1AP．

admin2019-05-10 684

问题 [2008年] 设A为三阶矩阵，α₁，α₂为A的分别属于特征值一1，1的特征向量．向量a 3满足Aα₃=α₂+α₃．(1)证明α₁，α₂，α₃线性无关；(2)令P=[α₁，α₂，α₃]，求P^-1AP．

选项

答案(1)用反证法产生与α₁，α₂线性无关的矛盾证之．(2)注意到Aα₁，Aα₂，Aα₃可写成α₁，α₂，α₃的线性组合．由命题2．1．2．3知，可将矩阵[Aα₁，Aα₂，Aα₃]改写成矩阵[α₁，α₂，α₃]与另一数字矩阵的乘积，利用前者的可逆性即可求得P^-1AP． (1)用反证法证明．如果α₁，α₂，α₃线性相关，因α₁，α₂属于A的不同特征值的特征向量，故线性无关．于是α₃可由α₁，α₂线性表出．设α₃=l₁α₁+l₂α₂，则 Aα₃=α₂+α₃=α₂+l₁α₁+l₂α₂=(1+l₂)α₂+l₁α₁．又 Aα₃=A(l₁α₁+l₂α₂)=l₁Aα₁+l₂Aα₂=一l₁α₁+l₂α₂，故 l₁α₁+(1+l₂)α₂=一l₁α₁+l₂α₂，即 2l₁α₁+α₂=0，所以α₁，α₂线性相关，与题设α₁，α₂线性无关，矛盾．于是α₁，α₂，α₃线性无关． (2)因Aα₁=一α₁，Aα₂=α₂，Aα₃=α₂+α₃，故Aα₁，Aα₂，Aα₃为α₁，α₂，α₃的线性组合，由命题2．1．2．3得到 A=[α₁，α₂，α₃]=[Aα₁，Aα₂，Aα₃]=[一α₁，α₂，α₃+α₃]=[α₁，α₂，α₃][*] 即AP=P[*]，又由(1)知，P可逆，故P^-1AP=[*].

解析

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考研数学二

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[2008年] 设A为三阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量．向量a 3满足Aα3=α2+α3．(1)证明α1，α2，α3线性无关；(2)令P=[α1，α2，α3]，求P-1AP．

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