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  3. 若x＞－1，证明：当0＜α＜1时，有(1+x)α＜1+αx；当α＜0或α＞1时，有(1+x)α＞1+αx．

若x＞－1，证明：当0＜α＜1时，有(1+x)α＜1+αx；当α＜0或α＞1时，有(1+x)α＞1+αx．

admin2018-09-25  11
问题 若x＞－1，证明：当0＜α＜1时，有(1+x)α＜1+αx；当α＜0或α＞1时，有(1+x)α＞1+αx．
选项
答案令f(x)=(1+x)α，则有f’(x)=α(1+x)α－1，f’’(x)=α(α－1)(1+x)α－2． 由f(x)的泰勒展开式 [*] ξ介于0，x之间， 可知当x＞－1，0＜α＜1时，α(α－1)＜0，1+ξ＞0，故 [*] 所以f(x)＜f(0)+f’(0)x， 即 (1+x)α＜1+αx． 同理可证当x＞－1，α＜0或α＞1时，有(1+x)α＞1+αx．
解析
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考研数学一

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