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  3. 已知向量β可以由α1，α2，…，αs线性表出，证明：表示法唯一的充分必要条件是α1，α2，…，αs线性无关．

已知向量β可以由α1，α2，…，αs线性表出，证明：表示法唯一的充分必要条件是α1，α2，…，αs线性无关．

admin2016-10-26  22
问题 已知向量β可以由α1，α2，…，αs线性表出，证明：表示法唯一的充分必要条件是α1，α2，…，αs线性无关．
选项
答案[*]必要性(反证法) 如α1，α2，…，αs线性相关，则存在不全为0的数l1，l2，…，ls，使 l1α1+l2α2+…+lsαs=0． 因已知β可由α1，α2，…，αs线性表出，设为β=k1α1+k2α2+…+ksαs，两式相加，可得到 β=(k1+l1)α1+(k2+l2)α2+…+(ks+ls)αs． 由于li不全为0，故k1+l1，k2+l2，…，ks+ls与k1，k2，…，ks是两组不同的数，即β有两种不同的表示法，与已知矛盾． [*]充分性(反证法) 若β有两种不同的表达式，设为 β=x1α1+x2α2+…+xsαs， β=y1α1+y2α2+…+ysαs． 两式相减，得 (x1—y1)α1+(x2—y2)α2+…+(xs—ys)αs=0， 由于x1—y1，x2—y2，…，xs—ys不全为0(否则是一种表示法)得，α1，α2，…，αs线性相关，与已知矛盾．
解析
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考研数学一

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