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已知向量β可以由α1,α2,…,αs线性表出,证明:表示法唯一的充分必要条件是α1,α2,…,αs线性无关.
已知向量β可以由α1,α2,…,αs线性表出,证明:表示法唯一的充分必要条件是α1,α2,…,αs线性无关.
admin
2016-10-26
48
问题
已知向量β可以由α
1
,α
2
,…,α
s
线性表出,证明:表示法唯一的充分必要条件是α
1
,α
2
,…,α
s
线性无关.
选项
答案
[*]必要性(反证法) 如α
1
,α
2
,…,α
s
线性相关,则存在不全为0的数l
1
,l
2
,…,l
s
,使 l
1
α
1
+l
2
α
2
+…+l
s
α
s
=0. 因已知β可由α
1
,α
2
,…,α
s
线性表出,设为β=k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
,两式相加,可得到 β=(k
1
+l
1
)α
1
+(k
2
+l
2
)α
2
+…+(k
s
+l
s
)α
s
. 由于l
i
不全为0,故k
1
+l
1
,k
2
+l
2
,…,k
s
+l
s
与k
1
,k
2
,…,k
s
是两组不同的数,即β有两种不同的表示法,与已知矛盾. [*]充分性(反证法) 若β有两种不同的表达式,设为 β=x
1
α
1
+x
2
α
2
+…+x
s
α
s
, β=y
1
α
1
+y
2
α
2
+…+y
s
α
s
. 两式相减,得 (x
1
—y
1
)α
1
+(x
2
—y
2
)α
2
+…+(x
s
—y
s
)α
s
=0, 由于x
1
—y
1
,x
2
—y
2
,…,x
s
—y
s
不全为0(否则是一种表示法)得,α
1
,α
2
,…,α
s
线性相关,与已知矛盾.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/bLu4777K
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考研数学一
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