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已知向量β可以由α1，α2，…，αs线性表出，证明：表示法唯一的充分必要条件是α1，α2，…，αs线性无关．
已知向量β可以由α1，α2，…，αs线性表出，证明：表示法唯一的充分必要条件是α1，α2，…，αs线性无关．
admin
2016-10-26
67
问题
已知向量β可以由α
1
，α
2
，…，α
s
线性表出，证明：表示法唯一的充分必要条件是α
1
，α
2
，…，α
s
线性无关．
选项
答案
[*]必要性(反证法) 如α
1
，α
2
，…，α
s
线性相关，则存在不全为0的数l
1
，l
2
，…，l
s
，使 l
1
α
1
+l
2
α
2
+…+l
s
α
s
=0． 因已知β可由α
1
，α
2
，…，α
s
线性表出，设为β=k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
，两式相加，可得到 β=(k
1
+l
1
)α
1
+(k
2
+l
2
)α
2
+…+(k
s
+l
s
)α
s
． 由于l
i
不全为0，故k
1
+l
1
，k
2
+l
2
，…，k
s
+l
s
与k
1
，k
2
，…，k
s
是两组不同的数，即β有两种不同的表示法，与已知矛盾． [*]充分性(反证法) 若β有两种不同的表达式，设为 β=x
1
α
1
+x
2
α
2
+…+x
s
α
s
， β=y
1
α
1
+y
2
α
2
+…+y
s
α
s
． 两式相减，得 (x
1
—y
1
)α
1
+(x
2
—y
2
)α
2
+…+(x
s
—y
s
)α
s
=0， 由于x
1
—y
1
，x
2
—y
2
，…，x
s
—y
s
不全为0(否则是一种表示法)得，α
1
，α
2
，…，α
s
线性相关，与已知矛盾．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/bLu4777K
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