已知向量β可以由α1，α2，…，αs线性表出，证明：表示法唯一的充分必要条件是α1，α2，…，αs线性无关．

admin2016-10-26 33

问题已知向量β可以由α₁，α₂，…，α_s线性表出，证明：表示法唯一的充分必要条件是α₁，α₂，…，α_s线性无关．

选项

答案[*]必要性(反证法) 如α₁，α₂，…，α_s线性相关，则存在不全为0的数l₁，l₂，…，l_s，使 l₁α₁+l₂α₂+…+l_sα_s=0．因已知β可由α₁，α₂，…，α_s线性表出，设为β=k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s，两式相加，可得到 β=(k₁+l₁)α₁+(k₂+l₂)α₂+…+(k_s+l_s)α_s．由于l_i不全为0，故k₁+l₁，k₂+l₂，…，k_s+l_s与k₁，k₂，…，k_s是两组不同的数，即β有两种不同的表示法，与已知矛盾． [*]充分性(反证法) 若β有两种不同的表达式，设为 β=x₁α₁+x₂α₂+…+x_sα_s， β=y₁α₁+y₂α₂+…+y_sα_s．两式相减，得 (x₁—y₁)α₁+(x₂—y₂)α₂+…+(x_s—y_s)α_s=0，由于x₁—y₁，x₂—y₂，…，x_s—y_s不全为0(否则是一种表示法)得，α₁，α₂，…，α_s线性相关，与已知矛盾．

解析

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考研数学一

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已知向量β可以由α1，α2，…，αs线性表出，证明：表示法唯一的充分必要条件是α1，α2，…，αs线性无关．

考研数学一

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求下列有理函数不定积分：

设x元线性方程组Ax=b,其中，证明行列式丨A丨=（n+1）an.

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设n阶矩阵A非奇异(n≥2)，A*是A的伴随矩阵，则

[*]由于Aα与α线性相关，则存在数k≠0使Aα＝kα，即a＝ka，2a＋3＝k，3a＋4＝k三式同时成立，解此关于a，k的方程组可得a＝－1，k＝1．

若四阶矩阵A与B为相似矩阵，A的特征值为1／2、1／3、1／4、1／5，则行列式｜B－1－E｜＝_______．

求不定积分

设n元线性方程组Ax=b，其中(Ⅰ)证明行列式｜A｜=(n+1)an；(Ⅱ)a为何值时，方程组有唯一解?求x1；(Ⅲ)a为何值时，方程组有无穷多解?求通解．

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