设n阶矩阵A满足A2=E，试证 r(A+E)+r(A-E)=n．

admin2021-02-25 35

问题设n阶矩阵A满足A²=E，试证
r(A+E)+r(A-E)=n．

选项

答案由A²=E，得(A+E)(A-E)=O，于是 0=r[(A+E)(A-E)]≥r(A+E)+r(A-E)-n=r(A+E)+r(E-A)-n≥r(A+E+E-A)-n=r(2E)-n=0，故 r(A+E)+r(A-E)=n．

解析本题考查求秩公式r(AB)≥r(A)+r(B)-n．

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