设函数f(x)在区间[0，1]上二阶可导，f(0)＝0，且f(1)＝1，证明：存在ζ∈(0，1)，使得ζf"(ζ)＋(1＋ζ)f’(ζ)＝1＋ζ．

admin2021-04-07 75

问题设函数f(x)在区间[0，1]上二阶可导，f(0)＝0，且f(1)＝1，证明：
存在ζ∈(0，1)，使得ζf"(ζ)＋(1＋ζ)f’(ζ)＝1＋ζ．

选项

答案作辅助函数F(x)＝xe^x[f’(x)－1]，显然F(0)－F(x₀)＝0，F(x)在(0，1)上可导，且 F"(x)＝(1＋x)e^x[f’(x)－1]＋xe^xf"(x)，根据罗尔定理，存在ξ∈(0，x₀)，使得F’(ξ)＝0，即 f"(ξ)＋(1＋ξ)f’(ξ)＝1＋ξ。

解析

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考研数学二

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