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设函数f(x)在区间[0,1]上二阶可导,f(0)=0,且f(1)=1,证明: 存在ζ∈(0,1),使得ζf"(ζ)+(1+ζ)f’(ζ)=1+ζ.
设函数f(x)在区间[0,1]上二阶可导,f(0)=0,且f(1)=1,证明: 存在ζ∈(0,1),使得ζf"(ζ)+(1+ζ)f’(ζ)=1+ζ.
admin
2021-04-07
86
问题
设函数f(x)在区间[0,1]上二阶可导,f(0)=0,且f(1)=1,证明:
存在ζ∈(0,1),使得ζf"(ζ)+(1+ζ)f’(ζ)=1+ζ.
选项
答案
作辅助函数F(x)=xe
x
[f’(x)-1], 显然F(0)-F(x
0
)=0,F(x)在(0,1)上可导,且 F"(x)=(1+x)e
x
[f’(x)-1]+xe
x
f"(x), 根据罗尔定理,存在ξ∈(0,x
0
),使得F’(ξ)=0,即 f"(ξ)+(1+ξ)f’(ξ)=1+ξ。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/zby4777K
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考研数学二
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