设二阶常系数线性微分方程y″+ay′+by=cex有特解y=e2x+(1+x)ex，确定常数a，b，c，并求该方程的通解.

admin2022-08-19 132

问题设二阶常系数线性微分方程y″+ay′+by=ce^x有特解y=e^2x+(1+x)e^x，确定常数a，b，c，并求该方程的通解.

选项

答案将y=e^2x+(1+x)e^x代入原方程得 (4+2a+b)e^2x+(3+2a+b)e^x+(1+a+b)xe^x=ce^x，则有 [*] 原方程为y″-3y′+2y=-e^x. 原方程的特征方程为λ₂-3λ+2=0，特征值为λ₁=1，λ₂=2，则y″-3y′+2y=0的通解为y=C₁e^x+C₂e^2x，于是原方程的通解为 y=C₁e^x+C₂e^2x+e^2x+(1+x)e^x(C₁，C₂为任意常数).

解析

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