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[2004年] 设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O.若考ξ1,ξ2,ξ3,ξ4是非齐次线性方程组AX=b的互不相等的解,则对应的齐次线性方程组AX=0的基础解系( ).
[2004年] 设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O.若考ξ1,ξ2,ξ3,ξ4是非齐次线性方程组AX=b的互不相等的解,则对应的齐次线性方程组AX=0的基础解系( ).
admin
2021-01-25
65
问题
[2004年] 设n阶矩阵A的伴随矩阵A
*
≠O.若考ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
,ξ
4
是非齐次线性方程组AX=b的互不相等的解,则对应的齐次线性方程组AX=0的基础解系( ).
选项
A、不存在
B、仅含一个非零解向量
C、含有两个线性无关的解向量
D、含有三个线性无关的解向量
答案
B
解析
解一 当A
*
≠O时,秩(A
*
)≠0.因而秩(A
*
)=n或秩(A
*
)=1.于是秩(A)=n或秩(A)=n-1.由题设知AX=b有四个互不相等的解,因而解不唯一,于是秩(A)=n-1.因而其基础解系仅含一个解向量.仅(B)入选.
解二 因A
*
≠O,故秩(A
*
)≥1,则秩(A)≥n-1.又因AX=0有解且不唯一,故秩(A)≤n-1.因而秩(A)=n-1.其基础解系仅含一个解向量.仅(B)入选.
解三 因A
*
≠o,故A
*
中至少有一个元素A
ij
=(-1)
i+j
M
ij
≠0,即A的元素a
ij
的余子式M
ij
≠0,而M
ij
为A的n一1阶子行列式,故秩(A)≥n一1.
又由AX=b有解且不唯一,有秩(A)≤n-1<n,故秩(A)=n-1,于是AX=0的一个基础解系所含解向量的个数为n-秩(A)=n-(n-1)=1.仅(B)入选.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Yux4777K
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考研数学三
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