设α1，α2，…，αs均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是( )

admin2019-12-26 60

问题设α₁，α₂，…，α_s均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是( )

选项 A、若α₁，α₂，…，α_s线性相关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性相关．
B、若α₁，α₂，…，α_s线性相关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性无关．
C、若α₁，α₂，…，α_s线性无关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性相关．
D、若α₁，α₂，…，α_s线性无关，则Aα₁，Aα₁，…，Aα_s线性无关．

答案A

解析  若α₁，α₂，…，α_s线性相关，则存在不全为零的数kα₁，kα₂，…，kα_s，使
         k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s=0，
  在等式的两端左乘矩阵A得
      k₁Aα₁+k₂Aα₂+…+k_sAα_s=A(k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s)
         =A0=0．
由于k₁，k₂，…，k_s不全为零，故．Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性相关．所以(A)选项正确，(B)不正确．
设α₁，α₂，…，α_s线性无关，若m=n，且A=E，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性无关．所以(C)不正确．若A=O，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性相关．所以(D)不正确．故选(A)．
本题也可以用秩分析．由于(Aα₁，Aα₂，…，Aα_s)=Aα₁，α₂，…，α_s)，所以
            r(Aα₁，Aα₂，…，Aα_s)=r[A(α₁，α₂，…，α_s)]≤r(α₁，α₂，…，α₃)．
若α₁，α₂，…，α_s线性相关，则r(α₁，α₂，…，α_s)1，Aα₂，…，Aα_s)1，Aα₂，…，Aα_s线性相关．
故选项(A)正确．
注：要确定结论正确，则要求在任意情况下结论都王确，取特殊的正确，则不能确定结论正确．要确定结论不正确，只需取一种特殊情况，结论不正确，即可否定．

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考研数学三

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