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  3. 设α1，α2，…，αs均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是( )

设α1，α2，…，αs均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是( )

admin2019-12-26  102
问题 设α1，α2，…，αs均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是(    )
选项 A、若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．
B、若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关．
C、若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．
D、若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα1，…，Aαs线性无关．
答案A
解析  若α1，α2，…，αs线性相关，则存在不全为零的数kα1，kα2，…，kαs，使
             k1α1+k2α2+…+ksαs=0，
  在等式的两端左乘矩阵A得
          k1Aα1+k2Aα2+…+ksAαs=A(k1α1+k2α2+…+ksαs)
            =A0=0．
    由于k1，k2，…，ks不全为零，故．Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．所以(A)选项正确，(B)不正确．
    设α1，α2，…，αs线性无关，若m=n，且A=E，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关．所以(C)不正确．若A=O，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．所以(D)不正确．故选(A)．
    本题也可以用秩分析．由于(Aα1，Aα2，…，Aαs)=Aα1，α2，…，αs)，所以
               r(Aα1，Aα2，…，Aαs)=r[A(α1，α2，…，αs)]≤r(α1，α2，…，α3)．
    若α1，α2，…，αs线性相关，则r(α1，α2，…，αs)1，Aα2，…，Aαs)1，Aα2，…，Aαs线性相关．
    故选项(A)正确．
    注：要确定结论正确，则要求在任意情况下结论都王确，取特殊的正确，则不能确定结论正确．要确定结论不正确，只需取一种特殊情况，结论不正确，即可否定．
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考研数学三

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