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  3. 根据k的不同的取值情况，讨论方程χ3－3χ＋k＝0实根的个数。

根据k的不同的取值情况，讨论方程χ3－3χ＋k＝0实根的个数。

admin2017-11-30  30
问题 根据k的不同的取值情况，讨论方程χ3－3χ＋k＝0实根的个数。
选项
答案令f(χ)＝χ3－3χ＋k，χ∈R，令f′(χ)＝3χ2－3＝0，解得驻点χ＝－1，χ＝1，函数的单增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)， 单减区间为[－1，1]，因此该函数至多有三个根。 因为函数f(χ)连续，根据零点定理， f(－∞)＜0，f(－1)＝2＋k，f(1)＝k－2f(＋∞)＞0。 k＜－2时f(－1)＜0，f(1)＜0，函数在(1，＋∞)上存在唯一一个根； －2＜k＜2时，f(－1)＞0，f(1)＜0，函数在每个单调区间有一根，共有三个根； k＞2时f(－1)＞0，f(1)＞0，函数在(－∞，－1)存在唯一一个根； k＝－2时，f(－1)＝0，f(1)＜0，方程在χ＝－1处和(1，＋∞)内各有一个根，共两个根； k＝2时f(－1)＞0，f(1)＝0，方程在χ＝1处和(－∞，－1)内各有一个根，共两个根。 综上所述，k、＜－2或k＞2，方程有且仅有一个根；－2＜k＜2，方程有三个根；k＝±2．方程有两个根。
解析
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考研数学一

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