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根据k的不同的取值情况,讨论方程χ3-3χ+k=0实根的个数。
根据k的不同的取值情况,讨论方程χ3-3χ+k=0实根的个数。
admin
2017-11-30
46
问题
根据k的不同的取值情况,讨论方程χ
3
-3χ+k=0实根的个数。
选项
答案
令f(χ)=χ
3
-3χ+k,χ∈R,令f′(χ)=3χ
2
-3=0,解得驻点χ=-1,χ=1,函数的单增区间为(-∞,-1),(1,+∞), 单减区间为[-1,1],因此该函数至多有三个根。 因为函数f(χ)连续,根据零点定理, f(-∞)<0,f(-1)=2+k,f(1)=k-2f(+∞)>0。 k<-2时f(-1)<0,f(1)<0,函数在(1,+∞)上存在唯一一个根; -2<k<2时,f(-1)>0,f(1)<0,函数在每个单调区间有一根,共有三个根; k>2时f(-1)>0,f(1)>0,函数在(-∞,-1)存在唯一一个根; k=-2时,f(-1)=0,f(1)<0,方程在χ=-1处和(1,+∞)内各有一个根,共两个根; k=2时f(-1)>0,f(1)=0,方程在χ=1处和(-∞,-1)内各有一个根,共两个根。 综上所述,k、<-2或k>2,方程有且仅有一个根;-2<k<2,方程有三个根;k=±2.方程有两个根。
解析
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考研数学一
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