设有曲面S:2x2+4y2+z2=4与平面π:2x+2y+z+5=0,试求 曲面S上的点及其上的切平面与法线方程,使该切平面与平面π平行;

admin2015-07-04  31

问题 设有曲面S:2x2+4y2+z2=4与平面π:2x+2y+z+5=0,试求
曲面S上的点及其上的切平面与法线方程,使该切平面与平面π平行;

选项

答案在曲面S上任取一点P(ξ,η,ζ),记F(x,y,z)=2x2+4y2+z2一4,则[*]于是,曲面S在点P处的切平面为4ξ(x一ξ)+8η(y一η)+2ζ(z—ζ)=0,即2ξx+4ηy+ζz一4=0,因该切平面与平面π平行,即其法向量n=2ξl+4η+ζk与n=2i+2j+k平行,[*]把它们代入曲面S的方程得ξ2=1,ξ=±1,于是,所求的点为[*]且它们所对应的切平面方程分别为2x+2y+z一4=0与2x+2y+z+4=0,它们所对应的法线方程分别为[*]

解析
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