设向量组α1，…，αn为两两正交的非零向量组，证明：α1，…，αn线性无关，举例说明逆命题不成立．

admin2016-09-30 43

问题设向量组α₁，…，α_n为两两正交的非零向量组，证明：α₁，…，α_n线性无关，举例说明逆命题不成立．

选项

答案令k₁α₁+…+k_nα_n=0，由α₁，…，α_n两两正交及(k₁α₁+…+k_nα_n)=0，得k₁(α₁，α₂)=0，而(α₁，α₂)=|α₁|＞0，于是k₁=0，同理可证k₁=…=k_n—1=0，故α₁，…，α_n线性无关．令α₁=[*]，显然α₁，α₂线性无关，但α₁，α₂不正交．

解析

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