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  3. 设α是n维单位列向量，A=E－ααT,证明：r(A)＜n.

设α是n维单位列向量，A=E－ααT,证明：r(A)＜n.

admin2021-11-25  29
问题 设α是n维单位列向量，A=E－ααT,证明：r(A)＜n.
选项
答案A2=(E－ααT)(E－ααT)=E－2ααT+ααT·ααT，因为α为单位列向量，所以αTα=1，于是A2=A,由A(E－A)=O得r(A)+r(E－A)≤n 又由r(A)+r(E－A)≥r[A+(E－A)]=r(E)=n,得r(A)+r(E－A)=n 因为E－A=ααT≠O,所以r(E－A)=r(ααT)=r(α)=1,故r(A)=n－1＜n。
解析
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考研数学二

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