设a为正常数,f(x)=xea一aex—x+a. 证明:当x>a时,f(x)<0.

admin2021-10-02  54

问题 设a为正常数,f(x)=xea一aex—x+a.
证明:当x>a时,f(x)<0.

选项

答案f(a)=0,f’(x)=ea一aex一1,f"(x)=一aex<0.以下证明f’(a)<0. 令φ(a)=f’(a)=ea一aea一1,有φ(a)|a=0=0,φ’(a)=—aea<0(a>0). 所以φ(a)<0(a>0),即f’(a)<0(a>0). 将f(x)在x=a处按二阶泰勒公式展开: f(x)=f(a)+f’(a)(x—a)+[*][f"(ξ)(x一a)2<0(0<a<ξ<x), 证毕.

解析
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