设A=E一2ξξT，其中ξ=(x1，x2，…，xn)T，且有ξTξ=1．则 (1)A是对称阵． (2)A2是单位阵． (3)A是正交阵． (4)A是可逆阵．上述结论中，正确的个数是( )

admin2020-03-01 47

问题设A=E一2ξξ^T，其中ξ=(x₁，x₂，…，x_n)^T，且有ξ^Tξ=1．则
(1)A是对称阵．
(2)A²是单位阵．
(3)A是正交阵．
(4)A是可逆阵．
上述结论中，正确的个数是( )

选项 A、1．
B、2．
C、3．
D、4．

答案D

解析 A^T=(E一2ξξ^T)^T=E^T一(2ξξ^T)^T=E一2ξξ^T=A，(1)成立．A²=(E一2ξξ^T)(E一2ξξ^T)=E一4ξξ^T+4ξξ^Tξξ^T=E一4ξξ^T+4ξ(ξ^Tξ)ξ^T=E，(2)成立．由(1)、(2)，得A²=A^T=E，故A是正交阵，(3)成立．由(3)知正交阵是可逆阵，且A^-1=A^T，(4)成立．故应选D．

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