2. 考研
  3. 设函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上连续，且f(x)单调增加，0≤g(x)≤1，证明： (I)0≤∫axg(t)dt≤x-a，x∈[a，b]； (Ⅱ)f(x)dx≤∫abf(x)g(x)dx．

设函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上连续，且f(x)单调增加，0≤g(x)≤1，证明： (I)0≤∫axg(t)dt≤x-a，x∈[a，b]； (Ⅱ)f(x)dx≤∫abf(x)g(x)dx．

admin2022-09-22  76
问题 设函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上连续，且f(x)单调增加，0≤g(x)≤1，证明：
    (I)0≤∫axg(t)dt≤x-a，x∈[a，b]；
    (Ⅱ)f(x)dx≤∫abf(x)g(x)dx．
选项
答案(I)解法一 由积分中值定理可得 ∫axg(t)dt=g(ξ)(x-a)，ξ∈[a，x]． 由于0≤g(x)≤1，则0≤g(ξ)(x-a)≤x-a．因此 0≤∫axg(t)dt≤x-a． 解法二 根据定积分的性质，直接由0≤g(x)≤1，得到 0≤∫axg(t)dt≤∫ax1dt=x-a． (Ⅱ)令F(u)=∫auf(x)g(x)dx-[*]f(x)dx，u∈[a，b]． 则 F’(u)=f(u)g(u)-f[a+∫aug(t)dt]·g(u) =g(u)[f(u)-f(a+∫aug(t)dt)]． 由(I)可知0≤∫aug(t)dt≤u-a，因此a≤a+∫aug(t)dt≤u． 又知f(x)在[a，b]上单调递增，且g(u)≥0，可得F’(u)≥0． 因此F(u)在[a，b]上单调递增，可得F(u)≥F(a)=0． 取u=b，得F(b)≥0，所证成立．
解析
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考研数学二

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