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设二次型f(χ1,χ2,χ3)=XTAX=aχ12+2χ22-2χ32+2bχ1χ3,(b>0)其中A的特征值之和为1,特征值之积为-12. (1)求a,b. (2)用正交变换化f(χ1,χ2,χ3)为标准型.
设二次型f(χ1,χ2,χ3)=XTAX=aχ12+2χ22-2χ32+2bχ1χ3,(b>0)其中A的特征值之和为1,特征值之积为-12. (1)求a,b. (2)用正交变换化f(χ1,χ2,χ3)为标准型.
admin
2020-03-16
125
问题
设二次型f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=X
T
AX=aχ
1
2
+2χ
2
2
-2χ
3
2
+2bχ
1
χ
3
,(b>0)其中A的特征值之和为1,特征值之积为-12.
(1)求a,b.
(2)用正交变换化f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)为标准型.
选项
答案
(1)A=[*] 由条件知,A的特征值之和为1,即a+2+(-2)=1,得a=1. 特征值之积=12,即|A|=-12,而 |A|=[*]=2(-2-b
2
) 得b=2(b>0).则A=[*] (2)|AE-A|=[*]=(λ-2)
2
(λ+3), 得A的特征值为2(二重)和-3(一重). 对特征值2求两个单位正交的特征向量,即(A-2E)X=0的非零解. A-2E=[*] 得(A-2E)X=0的同解方程组χ
1
-2χ
3
=0,求出基础解系η
1
=(0,1,0)
T
,η
3
=(2,0,1)
T
.它们正交,单位化:α
1
=η
1
,α
2
=[*] 求-3的一个单位特征向量: A+3E=[*] (A+3E)X=0的同解方程组[*] 得一个η
1
=(1,0,-2)
T
,单位化得α
3
=[*] 作正交矩阵Q=(α
1
,α
2
,α
3
),则 Q
T
AQ=[*] 作正交变换X=QY则它把f化为Y的二次型f=2y
1
2
+2y
2
2
-3y
3
2
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/9I84777K
0
考研数学二
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