2. 考研
  3. 设函数f(x)在区间(0，+∞)上可导，且f′(x)＞0， F(x)=du． 求F(x)的单调区间，并求曲线y=F(x)的图形的凹凸区间及拐点坐标．

设函数f(x)在区间(0，+∞)上可导，且f′(x)＞0， F(x)=du． 求F(x)的单调区间，并求曲线y=F(x)的图形的凹凸区间及拐点坐标．

admin2020-03-15  102
问题 设函数f(x)在区间(0，+∞)上可导，且f′(x)＞0，
F(x)=du．
求F(x)的单调区间，并求曲线y=F(x)的图形的凹凸区间及拐点坐标．
选项
答案由F(x)=x[*]du，则 [*] =[*]du． 当0＜x＜1时，[*]＞u＞1，从而f([*])＞f(u)，F′(x)=[*]－f(u)]du＞0； 当1＜x＜+∞时，0＜[*]＜u＜1，从而f([*])＜f(u)，F′(x)=[*]du＞0． 又在x=1处F(x)连续，所以F(x)在区间(0，+∞)上严格单调增加． [*] 所以F″(1)=0，且当0＜x＜1时，F″(x)＜0，曲线y=F(x)是凸的；当x＞1时，F″(x)＞0，曲线y=F(x)是凹的．所以点(1，0)为曲线y=F(x)上的唯一拐点，且凸区间为(0，1)，凹区间为(1，+∞)．
解析
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考研数学二

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