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设α=[1,2,3,4]T,β=[3,一2,一1,1]T,A=αβT. (I)求A的特征值,特征向量; (Ⅱ)问A能否相似于对角阵,说明理由.
设α=[1,2,3,4]T,β=[3,一2,一1,1]T,A=αβT. (I)求A的特征值,特征向量; (Ⅱ)问A能否相似于对角阵,说明理由.
admin
2014-04-16
57
问题
设α=[1,2,3,4]
T
,β=[3,一2,一1,1]
T
,A=αβ
T
.
(I)求A的特征值,特征向量;
(Ⅱ)问A能否相似于对角阵,说明理由.
选项
答案
法一[*][*]故A有特征值λ=0(四重根).当λ=0时,由(λE一A)x=0,即Ax=0,Ax=0的同解方程为3x
1
—2x
2
一x
3
+x
4
=0.因r(A)一r(αβ
T
)≤r(α)=1(α≠0)A≠0,故r(A)=1.故λ=0为四重根时,线性无关的特征向量只有三个,故A不能相似于对角阵.法二r(A)=r(αβ
T
)≤r(α)=1.又A≠0,故r(A)=1,|A|=0.故A有特征值λ=0.对应的特征向量满足(OE—A)x=0,即Ax=αβ
T
x=0,其同解方程组为3x
1
—2x
2
一x
3
+x
4
=0.解得对应的特征向量为ξ
1
=[2,3,0,0]
T
,ξ
2
=[1,0,3,0]
T
,ξ
3
=[1,0,0,一3]
T
,A的对应于λ=0的全体特征向量为走k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+k
3
ξ
3
,其中k
1
,k
2
,k
3
为不同时为零的任意常数.故知λ=0至少是A的三重特征值,设第4个特征值为λ
4
由[*]故λ=0是四重特征值,但对应的线性无关特征向量只有3个.故A不能相似于对角阵.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ZH34777K
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考研数学二
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