设有3阶实对称矩阵A满足A3-6A2+11A-6E=0，且｜A｜=6．写出用正交变换将二次型f=xT(A+E)x化成的标准形(不需求出所用的正交变换)；

admin2021-11-09 41

问题设有3阶实对称矩阵A满足A³-6A²+11A-6E=0，且｜A｜=6．
写出用正交变换将二次型f=x^T(A+E)x化成的标准形(不需求出所用的正交变换)；

选项

答案设λ是A的特征值，x是A的关于λ所对应的特征向量，由A³-6A²+11A-6E=O得(λ³-6λ²+11λ -6)x=0，由于x≠0，所以λ³-6λ²+11λ-6=0，得λ=1，2，3．由于｜A｜=6，所以λ₁=1，λ₂=2，λ₃=3为A的三个特征值．由于A+E仍是对称矩阵，其特征值为2，3，4，故存在正交变换x=Py，使 f=x^T(A+E)x=2y²₁+3y²₂+4y²₃．

解析本题考查用正交变换化二次型为标准形和二次型正定性的判定．

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考研数学二

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