2. 考研
  3. 设有3阶实对称矩阵A满足A3-6A2+11A-6E=0，且｜A｜=6． 写出用正交变换将二次型f=xT(A+E)x化成的标准形(不需求出所用的正交变换)；

设有3阶实对称矩阵A满足A3-6A2+11A-6E=0，且｜A｜=6． 写出用正交变换将二次型f=xT(A+E)x化成的标准形(不需求出所用的正交变换)；

admin2021-11-09  78
问题 设有3阶实对称矩阵A满足A3-6A2+11A-6E=0，且｜A｜=6．
写出用正交变换将二次型f=xT(A+E)x化成的标准形(不需求出所用的正交变换)；
选项
答案设λ是A的特征值，x是A的关于λ所对应的特征向量，由A3-6A2+11A-6E=O得(λ3-6λ2+11λ -6)x=0，由于x≠0，所以λ3-6λ2+11λ-6=0，得λ=1，2，3．由于｜A｜=6，所以λ1=1，λ2=2，λ3=3为A的三个特征值．由于A+E仍是对称矩阵，其特征值为2，3，4，故存在正交变换x=Py，使 f=xT(A+E)x=2y21+3y22+4y23．
解析 本题考查用正交变换化二次型为标准形和二次型正定性的判定．
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考研数学二

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