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设有3阶实对称矩阵A满足A3-6A2+11A-6E=0,且|A|=6. 写出用正交变换将二次型f=xT(A+E)x化成的标准形(不需求出所用的正交变换);
设有3阶实对称矩阵A满足A3-6A2+11A-6E=0,且|A|=6. 写出用正交变换将二次型f=xT(A+E)x化成的标准形(不需求出所用的正交变换);
admin
2021-11-09
72
问题
设有3阶实对称矩阵A满足A
3
-6A
2
+11A-6E=0,且|A|=6.
写出用正交变换将二次型f=x
T
(A+E)x化成的标准形(不需求出所用的正交变换);
选项
答案
设λ是A的特征值,x是A的关于λ所对应的特征向量,由A
3
-6A
2
+11A-6E=O得(λ
3
-6λ
2
+11λ -6)x=0,由于x≠0,所以λ
3
-6λ
2
+11λ-6=0,得λ=1,2,3.由于|A|=6,所以λ
1
=1,λ
2
=2,λ
3
=3为A的三个特征值.由于A+E仍是对称矩阵,其特征值为2,3,4,故存在正交变换x=Py,使 f=x
T
(A+E)x=2y
2
1
+3y
2
2
+4y
2
3
.
解析
本题考查用正交变换化二次型为标准形和二次型正定性的判定.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ZMy4777K
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考研数学二
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