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  3. [2014年] 设函数f(x)具有二阶导数，g(x)=f(0)(1一x)+f(1)x，则在区间[0，1]上( )．

[2014年] 设函数f(x)具有二阶导数，g(x)=f(0)(1一x)+f(1)x，则在区间[0，1]上( )．

admin2019-04-05  115
问题 [2014年]  设函数f(x)具有二阶导数，g(x)=f(0)(1一x)+f(1)x，则在区间[0，1]上(    )．
选项 A、当f′(x)≥0时，f(x)≥g(x)
B、当f′(x)≥0时，f(x)≤g(x)
C、当f″(x)≥0时，f(x)≥g(x)
D、当f″(x)≥0时，f(x)≤g(x)
答案D
解析 可利用函数的几何图形选出正确选项．也可利用下述命题判别之．
解一    令φ(x)=f(x)一g(x)，则φ(x)=f(x)一f(0)(1一x)一f(1)x，且
φ′(x)=f′(x)+f(0)－f(1)，φ″(x)=f″(x)．
当f″(x)≥0时；φ″(x)=f″(x)≥0，φ(x)为凹函数．
因φ(0)=φ(1)=0，由命题1．2．6．1(2)知，当x∈[0，1]时，
φ(x)≤0，即f(x)≤g(x)．仅(D)入选．
解二    由g(x)的表达式知，g(0)=f(0)，g(1)=f(1)，即．
f(x)与g(x)在区间[0，1]端点的函数值相等，又φ(x)=f(0)+[f(1)一f(0)]x是一条直线，斜率k=f(1)一f(0)．当f″(0)≥0时，f(x)在区间[0，1]上是凹的，而g(x)是连接f(x)两个端点的弦(见图1．2．6．1)，故f(x)≤g(x)．仅(D)入选．
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考研数学二

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