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设数列a1，a2，…，an，…中的每一项都不为0，证明{an}为等差数列的充分必要条件是：对任何n∈N*都有
设数列a1，a2，…，an，…中的每一项都不为0，证明{an}为等差数列的充分必要条件是：对任何n∈N*都有
admin
2016-01-20
56
问题
设数列a
1
，a
2
，…，a
n
，…中的每一项都不为0，证明{a
n
}为等差数列的充分必要条件是：对任何n∈N
*
都有
选项
答案
先证必要性。 设数列{a
n
}的公差为d，若d=0，则所述等式显然成立。 若d≠0，则 [*] 再证充分性。 (数学归纳法)设所述的等式对一切n∈N
*
都成立。 首先，在等式[*]两端同乘a
1
a
2
a
3
，即得a
1
+a
3
=2a
2
，所以a
1
，a
2
，a
3
成等差数列，记公差为d，则a
2
=a
1
+d。 假设a
k
=a
1
+(k-1)d，当n=k+1时，观察如下两个等式 [*] 在该式两端同乘a
1
a
k
a
k+1
得，(k-1)a
k+1
+a
0
=kd。 将a
k
=a
1
+(k-1)d代入其中，整理，得a
k+1
=a
1
+kd。 由数学归纳法原理知，对一切n∈N
*
，都有a
n
=a
1
+(n-1)d。 所以{a
n
}是公差为d的等差数列。 综上所述，{a
n
}为等差数列的充分必要条件是：对任何n∈N
*
，都有[*]
解析
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数学学科知识与教学能力题库教师资格分类
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数学学科知识与教学能力
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