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设数列a1,a2,…,an,…中的每一项都不为0,证明{an}为等差数列的充分必要条件是:对任何n∈N*都有
设数列a1,a2,…,an,…中的每一项都不为0,证明{an}为等差数列的充分必要条件是:对任何n∈N*都有
admin
2016-01-20
27
问题
设数列a
1
,a
2
,…,a
n
,…中的每一项都不为0,证明{a
n
}为等差数列的充分必要条件是:对任何n∈N
*
都有
选项
答案
先证必要性。 设数列{a
n
}的公差为d,若d=0,则所述等式显然成立。 若d≠0,则 [*] 再证充分性。 (数学归纳法)设所述的等式对一切n∈N
*
都成立。 首先,在等式[*]两端同乘a
1
a
2
a
3
,即得a
1
+a
3
=2a
2
,所以a
1
,a
2
,a
3
成等差数列,记公差为d,则a
2
=a
1
+d。 假设a
k
=a
1
+(k-1)d,当n=k+1时,观察如下两个等式 [*] 在该式两端同乘a
1
a
k
a
k+1
得,(k-1)a
k+1
+a
0
=kd。 将a
k
=a
1
+(k-1)d代入其中,整理,得a
k+1
=a
1
+kd。 由数学归纳法原理知,对一切n∈N
*
,都有a
n
=a
1
+(n-1)d。 所以{a
n
}是公差为d的等差数列。 综上所述,{a
n
}为等差数列的充分必要条件是:对任何n∈N
*
,都有[*]
解析
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数学学科知识与教学能力题库教师资格分类
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数学学科知识与教学能力
教师资格
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