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(Ⅰ)设函数y=y(χ)由方程sin(χ2+y2)+eχ-χy2=0所确定,求; (Ⅱ)设eχ+y=y确定y=y(χ),求y′,y〞; (Ⅲ)设函数y=f(χ,y),其中f具有二阶导数,且f′≠1,求.
(Ⅰ)设函数y=y(χ)由方程sin(χ2+y2)+eχ-χy2=0所确定,求; (Ⅱ)设eχ+y=y确定y=y(χ),求y′,y〞; (Ⅲ)设函数y=f(χ,y),其中f具有二阶导数,且f′≠1,求.
admin
2016-10-21
49
问题
(Ⅰ)设函数y=y(χ)由方程sin(χ
2
+y
2
)+e
χ
-χy
2
=0所确定,求
;
(Ⅱ)设e
χ+y
=y确定y=y(χ),求y′,y〞;
(Ⅲ)设函数y=f(χ,y),其中f具有二阶导数,且f′≠1,求
.
选项
答案
(Ⅰ)将原方程两边直接对χ求导数,并注意y是z的函数,然后解出y′即可.由 (2χ+2y.y′)cos(χ
2
+y
2
)+e
χ
-y
2
-2χy.y′=0. 得y′=[*] (Ⅱ)注意y是χ的函数,将方程两端对χ求导得 e
χ+y
(1+y′)=y′,即y′=[*].(这里用方程e
χ+y
=y化简) 再将y′的表达式对χ求导得 y〞=[*] 或将[*]满足的方程[*]两边对χ求导得[*],再代入[*]的表达式,同样可求得[*]. (Ⅲ)y=y(χ)由方程f(χ+y)-y=0确定,f为抽象函数,若把f(χ+y)看成f(u),而u=χ+y,y=y(χ),则变成复合函数和隐函数的求导问题.注意,f(χ+),及其导函数f′(χ+y)均是χ的复合函数. 将y=f(χ+y)两边对χ求导,并注意y是χ的函数,f是关于χ的复合函数,有 y′=f′.(1+y′),即y′=[*](其中f′=f′(χ+y)). 又由y′=(1+y′),f′再对χ求导,并注意y′是χ的函数,f′即f′(χ+y)仍然是关于χ的复合函数,有 y〞=(1+y′)f′+(1+y′)(f′)′
χ
=y〞f′+(1+y′)f〞.(1+y′)=y〞f′(1+y′)
2
f〞, 将y′=[*]代入并解出y〞即得 y〞=[*](其中f′=f′(χ+y),f〞=f〞(χ+y)). 或直接由y′=[*]再对χ求导,同样可求得y〞=[*].
解析
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考研数学二
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