设二次型 f(x1,x2,…,xn)=(nx1)2+(nx2)2+…+(nxn)2-(x1+x2+…+xn)2(n>1), 则f的秩是________。

admin2015-11-16  35

问题 设二次型
f(x1,x2,…,xn)=(nx1)2+(nx2)2+…+(nxn)2-(x1+x2+…+xn)2(n>1),
则f的秩是________。

选项

答案n

解析 解一  二次型f的矩阵为

此矩阵A的主对角线上的元素全为n2-1,非主对角线上的元素全为-1,由上述结果可直接写
出该矩阵的行列式的值:
    |A|=[(n2-1)+(n-1)(-1)][(n2-1)-(-1)]n-1
         =(n2-n)(n2)n-1
         =n(n-1)(nn-1)。
因n>1,故|A|≠0,所以f的秩为n。
    解二  矩阵A是行(列)和相等的矩阵,也可用初等变换求其秩:

,故r(A)=r(A1)=n,即f的秩等于n。
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