设二次型 f(x1，x2，…，xn)＝(nx1)2＋(nx2)2＋…＋(nxn)2－(x1＋x2＋…＋xn)2(n＞1)，则f的秩是＿＿＿＿＿＿＿＿。

admin2015-11-16 80

问题设二次型
f(x₁，x₂，…，x_n)＝(nx₁)²＋(nx₂)²＋…＋(nx_n)²－(x₁＋x₂＋…＋x_n)²(n＞1)，
则f的秩是＿＿＿＿＿＿＿＿。

选项

答案n

解析解一二次型f的矩阵为

此矩阵A的主对角线上的元素全为n²－1，非主对角线上的元素全为－1，由上述结果可直接写
出该矩阵的行列式的值：
｜A｜＝[(n²－1)＋(n－1)(－1)][(n²－1)－(－1)]^n－1
      ＝(n²－n)(n²)^n－1
      ＝n(n－1)(n^n－1)。
因n>1，故｜A｜≠0，所以f的秩为n。
解二  矩阵A是行(列)和相等的矩阵，也可用初等变换求其秩：

则

，故r(A)＝r(A₁)＝n，即f的秩等于n。

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