2. 考研
  3. 设二次型 f(x1，x2，…，xn)＝(nx1)2＋(nx2)2＋…＋(nxn)2－(x1＋x2＋…＋xn)2(n＞1)， 则f的秩是＿＿＿＿＿＿＿＿。

设二次型 f(x1，x2，…，xn)＝(nx1)2＋(nx2)2＋…＋(nxn)2－(x1＋x2＋…＋xn)2(n＞1)， 则f的秩是＿＿＿＿＿＿＿＿。

admin2015-11-16  48
问题 设二次型
f(x1，x2，…，xn)＝(nx1)2＋(nx2)2＋…＋(nxn)2－(x1＋x2＋…＋xn)2(n＞1)，
则f的秩是＿＿＿＿＿＿＿＿。
选项
答案n
解析 解一  二次型f的矩阵为

此矩阵A的主对角线上的元素全为n2－1，非主对角线上的元素全为－1，由上述结果可直接写
出该矩阵的行列式的值：
    ｜A｜＝[(n2－1)＋(n－1)(－1)][(n2－1)－(－1)]n－1
         ＝(n2－n)(n2)n－1
         ＝n(n－1)(nn－1)。
因n>1，故｜A｜≠0，所以f的秩为n。
    解二  矩阵A是行(列)和相等的矩阵，也可用初等变换求其秩：

则，故r(A)＝r(A1)＝n，即f的秩等于n。
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考研数学一

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