设函数f(x)二阶连续可导，f(0)=1,且有f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2x∫01f(tx)dt+e-x=0,求f(x).

admin2021-11-25 53

问题设函数f(x)二阶连续可导，f(0)=1,且有f’(x)+3∫₀^xf’(t)dt+2x∫₀¹f(tx)dt+e^-x=0,求f(x).

选项

答案因为x∫₀¹f(tx)dx=∫₀^xf(u)du,所以f’(x)+3∫₀^xf’(t)dt+2x∫₀¹f(tx)dx+e^-x=0可化为 f’(x)+3∫₀^xf’(t)dt+2∫₀^xf(t)dt+e^-x=0 两边对x求导得f"(x)+3f’(x)+2f(x)=e^-x 由λ²+3λ+2=0得λ₁=－1,λ₂=－2 则方程f"(x)+3f’(x)+2f(x)=0的通解为C₁e^-x+C₂e^-2x 令f"(x)+3f’(x)+2f(x)=e^-x的一个特解为y₀=axe^-x,代入得到a=1 则原方程的通解为f(x)=C₁e^-x+C₂e^-2x+xe^-x 由f(0)=1,f’(0)=－1,得C₁=0，C₂=1，故原方程的解为f(x)=e^-2x+xe^-x

解析

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