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设函数f(x)二阶连续可导,f(0)=1,且有f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2x∫01f(tx)dt+e-x=0,求f(x).
设函数f(x)二阶连续可导,f(0)=1,且有f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2x∫01f(tx)dt+e-x=0,求f(x).
admin
2021-11-25
66
问题
设函数f(x)二阶连续可导,f(0)=1,且有f’(x)+3∫
0
x
f’(t)dt+2x∫
0
1
f(tx)dt+e
-x
=0,求f(x).
选项
答案
因为x∫
0
1
f(tx)dx=∫
0
x
f(u)du,所以f’(x)+3∫
0
x
f’(t)dt+2x∫
0
1
f(tx)dx+e
-x
=0可化为 f’(x)+3∫
0
x
f’(t)dt+2∫
0
x
f(t)dt+e
-x
=0 两边对x求导得f"(x)+3f’(x)+2f(x)=e
-x
由λ
2
+3λ+2=0得λ
1
=-1,λ
2
=-2 则方程f"(x)+3f’(x)+2f(x)=0的通解为C
1
e
-x
+C
2
e
-2x
令f"(x)+3f’(x)+2f(x)=e
-x
的一个特解为y
0
=axe
-x
,代入得到a=1 则原方程的通解为f(x)=C
1
e
-x
+C
2
e
-2x
+xe
-x
由f(0)=1,f’(0)=-1,得C
1
=0,C
2
=1,故原方程的解为f(x)=e
-2x
+xe
-x
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Zdy4777K
0
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