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  3. 设函数f(x)二阶连续可导，f(0)=1,且有f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2x∫01f(tx)dt+e-x=0,求f(x).

设函数f(x)二阶连续可导，f(0)=1,且有f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2x∫01f(tx)dt+e-x=0,求f(x).

admin2021-11-25  31
问题 设函数f(x)二阶连续可导，f(0)=1,且有f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2x∫01f(tx)dt+e-x=0,求f(x).
选项
答案因为x∫01f(tx)dx=∫0xf(u)du,所以f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2x∫01f(tx)dx+e-x=0可化为 f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2∫0xf(t)dt+e-x=0 两边对x求导得f"(x)+3f’(x)+2f(x)=e-x 由λ2+3λ+2=0得λ1=－1,λ2=－2 则方程f"(x)+3f’(x)+2f(x)=0的通解为C1e-x+C2e-2x 令f"(x)+3f’(x)+2f(x)=e-x的一个特解为y0=axe-x,代入得到a=1 则原方程的通解为f(x)=C1e-x+C2e-2x+xe-x 由f(0)=1,f’(0)=－1,得C1=0，C2=1，故原方程的解为f(x)=e-2x+xe-x
解析
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考研数学二

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