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[20l1年] 设向量组α1=[1,0,1]T,α2=[0,1,1]T,α3=[1,3,5]T不能由向量组β1=[1,l,1,]T,β2=[1,2,3]T,β3=[3,4,a]T线性表示. 求a的值;
[20l1年] 设向量组α1=[1,0,1]T,α2=[0,1,1]T,α3=[1,3,5]T不能由向量组β1=[1,l,1,]T,β2=[1,2,3]T,β3=[3,4,a]T线性表示. 求a的值;
admin
2019-05-10
61
问题
[20l1年] 设向量组α
1
=[1,0,1]
T
,α
2
=[0,1,1]
T
,α
3
=[1,3,5]
T
不能由向量组β
1
=[1,l,1,]
T
,β
2
=[1,2,3]
T
,β
3
=[3,4,a]
T
线性表示.
求a的值;
选项
答案
为求a的值,利用两向量组的线性表示关系可求得其秩的大小关系(见命题2.3.1.3),从而可建立a满足的等于零的行列式. 解一 因α
1
,α
2
,α
3
不能用β
1
,β
2
,β
3
线性表示,由命题2.3.1.3(2)知,秩(α
1
,α
2
,α
3
)>秩(β
1
,β
2
,β
3
),而∣α
1
,α
2
,α
3
∣=1≠0,故秩(α
1
,α
2
,α
3
)=3,秩(β
1
,β
2
,β
3
)<3, 所以∣β
1
,β
2
,β
3
∣=a一5=0,因而a=5. 解二 4个三维向量β
1
,β
2
,β
3
,α
i
必线性相关.若β
1
,β
2
,β
3
线性无关,则α
i
必可表成β
1
,β
2
,β
3
的线性组合.这与题设矛盾,故β
1
,β
2
,β
3
线性相关.于是∣β
1
,β
2
,β
3
∣=a一5=0,即a=5.
解析
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考研数学二
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