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已知向量组α1=(1,0,2,3)T,α2=(1,1,3,5)T,α3=(1,一1,1+2,1)T,α4=(1,2,4,a+8)β=(1,1,6+3,5)T.问:(1)a,b为何值时,β不能由α1,α2,α3,α4线性表示;(2)a,b为何值时,β可由α1
已知向量组α1=(1,0,2,3)T,α2=(1,1,3,5)T,α3=(1,一1,1+2,1)T,α4=(1,2,4,a+8)β=(1,1,6+3,5)T.问:(1)a,b为何值时,β不能由α1,α2,α3,α4线性表示;(2)a,b为何值时,β可由α1
admin
2019-08-12
40
问题
已知向量组α
1
=(1,0,2,3)
T
,α
2
=(1,1,3,5)
T
,α
3
=(1,一1,1+2,1)
T
,α
4
=(1,2,4,a+8)β=(1,1,6+3,5)
T
.问:(1)a,b为何值时,β不能由α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性表示;(2)a,b为何值时,β可由α
1
,α
2
,α
3
,α
4
唯一线性表示;(3)a,b为何值时,β可由α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性表示,且表示式不唯一,并写出表示式.
选项
答案
β是否能由α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性表示、即非齐次线性方程组x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
α
4
=β是否有解. 于是对方程组的增广矩阵(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,β)=(A,β)=B施以初等行变换,得 [*] 显然,(1)当a=一1时,b≠0时,r(A)=2,r(B)=3,方程组无解,所以β不能由α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性表示; (2)当a≠一1时,b为任何值时,r(A)=r(B)=4,方程组有唯一解,所以β能由α
1
,α
2
,α
3
,α
4
唯一的线性表示; (3)当a=一1时,b=0时,r(A)=r(B)=2,方程组有无穷多个解,所以β能由α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性表示,且表示法不唯一,此时 [*] 于是方程组的通解为 [*] k
1
,k
2
为任意常数.故p=(一2k
1
+k
2
)α
1
+(k一2k
2
+1)α
2
+k
1
α
3
+k
2
α
4
,其中k
1
,k
2
为任意的常数.
解析
本题考查向量线性表示的概念和表示方法.要求考生掌握向量线性表示与其对应的非齐次线性方程组解的关系.本题可归结为非齐次线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解的问题.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ZlN4777K
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考研数学二
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