2. 考研
  3. 已知向量组α1=(1，0，2，3)T，α2=(1，1，3，5)T，α3=(1，一1，1+2，1)T，α4=(1，2，4，a+8)β=(1，1，6+3，5)T．问：(1)a，b为何值时，β不能由α1,α2,α3,α4线性表示；(2)a，b为何值时，β可由α1

已知向量组α1=(1，0，2，3)T，α2=(1，1，3，5)T，α3=(1，一1，1+2，1)T，α4=(1，2，4，a+8)β=(1，1，6+3，5)T．问：(1)a，b为何值时，β不能由α1,α2,α3,α4线性表示；(2)a，b为何值时，β可由α1

admin2019-08-12  50
问题 已知向量组α1=(1，0，2，3)T，α2=(1，1，3，5)T，α3=(1，一1，1+2，1)T，α4=(1，2，4，a+8)β=(1，1，6+3，5)T．问：(1)a，b为何值时，β不能由α1,α2,α3,α4线性表示；(2)a，b为何值时，β可由α1,α2,α3,α4唯一线性表示；(3)a，b为何值时，β可由α1,α2,α3,α4线性表示，且表示式不唯一，并写出表示式．
选项
答案β是否能由α1,α2,α3,α4线性表示、即非齐次线性方程组x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β是否有解． 于是对方程组的增广矩阵(α1,α2,α3,α4，β)=(A，β)=B施以初等行变换，得 [*] 显然，(1)当a=一1时，b≠0时，r(A)=2，r(B)=3，方程组无解，所以β不能由α1,α2,α3,α4线性表示； (2)当a≠一1时，b为任何值时，r(A)=r(B)=4，方程组有唯一解，所以β能由α1,α2,α3,α4唯一的线性表示； (3)当a=一1时，b=0时，r(A)=r(B)=2，方程组有无穷多个解，所以β能由α1,α2,α3,α4线性表示，且表示法不唯一，此时 [*] 于是方程组的通解为 [*] k1，k2为任意常数．故p=(一2k1+k2)α1+(k一2k2+1)α2+k1α3+k2α4，其中k1，k2为任意的常数．
解析 本题考查向量线性表示的概念和表示方法．要求考生掌握向量线性表示与其对应的非齐次线性方程组解的关系．本题可归结为非齐次线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解的问题．
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考研数学二

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