(I)设A，B为n阶可相似对角化矩阵，且有相同特征值，证明：矩阵A，B相似． (Ⅱ)设求可逆矩阵P，使得P-1AP=B．

admin2017-12-18 128

问题 (I)设A，B为n阶可相似对角化矩阵，且有相同特征值，证明：矩阵A，B相似．
(Ⅱ)设

求可逆矩阵P，使得P^-1AP=B．

选项

答案(I)设A，B的特征值为λ₁，λ₂，…，λ_n. 因为A，B可相似对角化，所以存在可逆矩阵P₁，P₂，使得 [*] 于是P₁^-1AP₁=P₂^-1BP₂，或(P₁P₂^-1)^-1A(P₁P₂^-1)=B，令P=P₁P₂^-1，则P^-1AP=B，即矩阵A，B相似． (Ⅱ)由|λE—A|=[*]=(λ+1)(λ一1)²=0得λ₁=一1，λ₂=λ₃=1；由|λE—B|=[*]=(λ+1)(λ一1)²=0得μ₁=一1，μ₂=μ₃=1． [*]

解析

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