设fn(x)＝x＋x2＋…＋xn(n≥2)．证明方程fn(x)＝1有唯一的正根xn；

admin2015-07-24 50

问题设f_n(x)＝x＋x²＋…＋xⁿ(n≥2)．
证明方程f_n(x)＝1有唯一的正根x_n；

选项

答案令φ_n(x)＝f_n(x)一1，因为φ_n(0)＝一1＜0，φ_n(1)＝n一1＞0，所以φ_n(x)在(0，1)[*](0，＋∞)内有一个零点，即方程f_n(x)＝1在(0，＋∞)内有一个根．因为φ_n’(x)＝1＋2x＋…＋nx^n－1＞0，所以φ_n(x)在(0，＋∞)内单调增加，所以φ_n(x)在(0，＋∞)内的零点唯一，所以方程f_n(x)＝1在(0，＋∞)内有唯一正根，记为x_n．

解析

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