2. 考研
  3. 设 (Ⅰ)证明f(x)在x=0处连续； (Ⅱ)求区间(一1，+∞)上的f’(x)，并由此讨论区间(一1，+∞)上f(x)的单调性．

设 (Ⅰ)证明f(x)在x=0处连续； (Ⅱ)求区间(一1，+∞)上的f’(x)，并由此讨论区间(一1，+∞)上f(x)的单调性．

admin2018-03-30  109
问题 设

(Ⅰ)证明f(x)在x=0处连续；
(Ⅱ)求区间(一1，+∞)上的f’(x)，并由此讨论区间(一1，+∞)上f(x)的单调性．
选项
答案(Ⅰ)由题设当x∈(一1，+∞)且x≠0时 [*] 所以f(x)在x=0处连续． [*] 下面求区间(一1，+∞)且x≠0上的f’(x)： [*] 为讨论f’(x)的符号，取其分子记为g(x)，即令 g(x)=(1+x)ln2(1+x)一x2，有g(0)=0． g’(x)=2ln(1+x)+ln2(1+x)一2x，有g’(0)=0， 当一1＜x＜+∞且x≠0时， [*] 由泰勒公式有，当一1＜x＜+∞且x≠0时， g(x)=[*]g"(ξ)x2＜0，g(0)=0． 所以当一1＜x＜+∞且x≠0时f’(x)＜0．又由f’(0)=一[*]，所以f’(x)＜0(一1＜x＜+∞)，由定理：设f(x)在区间(a，b)内连续并且可导，导数f’(x)＜0，则f(x)在区间(a，b)内为严格单调减少．所以在区间(一1，+∞)上f(x)单调减少．
解析
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考研数学三

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