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设 (Ⅰ)证明f(x)在x=0处连续; (Ⅱ)求区间(一1,+∞)上的f’(x),并由此讨论区间(一1,+∞)上f(x)的单调性.
设 (Ⅰ)证明f(x)在x=0处连续; (Ⅱ)求区间(一1,+∞)上的f’(x),并由此讨论区间(一1,+∞)上f(x)的单调性.
admin
2018-03-30
79
问题
设
(Ⅰ)证明f(x)在x=0处连续;
(Ⅱ)求区间(一1,+∞)上的f’(x),并由此讨论区间(一1,+∞)上f(x)的单调性.
选项
答案
(Ⅰ)由题设当x∈(一1,+∞)且x≠0时 [*] 所以f(x)在x=0处连续. [*] 下面求区间(一1,+∞)且x≠0上的f’(x): [*] 为讨论f’(x)的符号,取其分子记为g(x),即令 g(x)=(1+x)ln
2
(1+x)一x
2
,有g(0)=0. g’(x)=2ln(1+x)+ln
2
(1+x)一2x,有g’(0)=0, 当一1<x<+∞且x≠0时, [*] 由泰勒公式有,当一1<x<+∞且x≠0时, g(x)=[*]g"(ξ)x
2
<0,g(0)=0. 所以当一1<x<+∞且x≠0时f’(x)<0.又由f’(0)=一[*],所以f’(x)<0(一1<x<+∞),由定理:设f(x)在区间(a,b)内连续并且可导,导数f’(x)<0,则f(x)在区间(a,b)内为严格单调减少.所以在区间(一1,+∞)上f(x)单调减少.
解析
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考研数学三
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