设有抛物线C1:x2=ay和圆C2:x2+y2=2y, (Ⅰ)确定a的取值范围,使得C1,C2交于三点O,M,P(如图); (Ⅱ)求抛物线C1与弦MP所围平面图形面积S(a)的最大值; (Ⅲ)求上述具有最大面积的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积V。

admin2020-05-16  61

问题 设有抛物线C1:x2=ay和圆C2:x2+y2=2y,
(Ⅰ)确定a的取值范围,使得C1,C2交于三点O,M,P(如图)
(Ⅱ)求抛物线C1与弦MP所围平面图形面积S(a)的最大值;
(Ⅲ)求上述具有最大面积的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积V。

选项

答案(Ⅰ)[*]得ay+y2=2y,解得y=0,y=2-a,由0<y=2-a<2,可得0<a<2,此时C1与C2的三交点是0(0,0),[*]。 (Ⅱ)由定积分的几何意义及对称性可得所论平面图形面积[*],要使S(a)最大,只要f(a)=a(2-a)3最大(0<a<2),由于是f(a)=(2-a)3-3a(2-a)2=[*]→a=[*]时,[*]最大。 此时所求面积的最大值[*]。 (Ⅲ)由旋转体的体积计算公式可得所求旋转体的体积(圆柱体体积减去而被抛物旋转体的体积)为[*]。

解析
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