2. 考研
  3. 若n阶矩阵A=[α1，α2，…，αn—1，αn]的前n一1个列向量线性相关，后n—1个列向量线性无关，β=α1+α2+…+αn．证明： (1)方程组Ax=β必有无穷多解． (2)若(k1，k2，…，kn)T是Ax=β的任一解，则kn=1．

若n阶矩阵A=[α1，α2，…，αn—1，αn]的前n一1个列向量线性相关，后n—1个列向量线性无关，β=α1+α2+…+αn．证明： (1)方程组Ax=β必有无穷多解． (2)若(k1，k2，…，kn)T是Ax=β的任一解，则kn=1．

admin2020-03-10  79
问题 若n阶矩阵A=[α1，α2，…，αn—1，αn]的前n一1个列向量线性相关，后n—1个列向量线性无关，β=α1+α2+…+αn．证明：
    (1)方程组Ax=β必有无穷多解．
    (2)若(k1，k2，…，kn)T是Ax=β的任一解，则kn=1．
选项
答案(1)因为α2，α3，…，αn线性无关，所以α2，α3，…，αn—1线性无关，而α1，α2，…，αn—1，线性相关，因此α1可由α2，…，αn—1线性表出，r(A)=n一1． 又β=α1，α2，…，αn可由α1，α2，…，αn线性表出，增广矩阵[*]=r(A)=n一1，因此方程组Ax=β必有无穷多解． (2)因为α1，α2，…，αn—1线性相关，故存在不全为零的实数l1，l2，…，ln—1，使 l1α1+l2α2+…+ln—1αn=0，即 [*] 又因r(A)=n一1，故(l1，…，ln—1，0)T是Ax=0的基础解系． 又[*]=α1，α2，…，αn=β， 故(1，1，…，1)T是Ax=β的一个特解，于是Ax=β通解是 (1，1，…，1)T+k(l1，l2，…，ln—1，0)． 因此，当(k1，…，kn—1)T是Ax=β的解时，必有kkn=1．
解析
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考研数学三

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