设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，且m＞n，若AB=E，其中E是n阶单位矩阵，则必有

admin2017-07-11 43

问题设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，且m＞n，若AB=E，其中E是n阶单位矩阵，则必有

选项 A、矩阵A的列向量组线性相关，矩阵B的行向量组线性相关．
B、矩阵A的列向量组线性相关，矩阵B的列向量组线性相关．
C、矩阵A的行向量组线性相关，矩阵B的行向量组线性相关．
D、矩阵A的行向量组线性相关，矩阵B的列向量组线性相关．

答案A

解析显然r(AB)=n．由矩阵“越乘秩越小"性质及矩阵秩的定义可知
n=r(AB)≤r(A)≤min{m，n}，
n=r(AB)≤r(B)≤min{m，n}，
又m>n,故min{m，n)=n，从而可得
r(A_n×m)=n＜m， r(B_m×n)=n＜m，
即矩阵A的列向量组线性相关，矩阵B的行向量组线性相关．

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