2. 考研
  3. 设f(x)在区间[a，b]上二阶可导且f"(x)≥0．证明： (b－a)f()≤f(x)dx≤[f(a)＋f(b)]．

设f(x)在区间[a，b]上二阶可导且f"(x)≥0．证明： (b－a)f()≤f(x)dx≤[f(a)＋f(b)]．

admin2019-11-25  89
问题 设f(x)在区间[a，b]上二阶可导且f"(x)≥0．证明：
(b－a)f()≤f(x)dx≤[f(a)＋f(b)]．
选项
答案由泰勒公式得f(x)＝f([*])＋f’([*])(x－[*])＋[*](x－[*])2，其 中ξ介于x与[*]之间，因为f”(x)≥0，所以有f(x)≥f([*])＋f’([*])(x－[*])， 两边积分得[*]f(x)dx≥(b－a)f([*])． 令φ(x)＝[*][f(x)＋f(a)]－[*]f(t)dt，且φ(a)＝0， φ’(x)＝[*][f(x)＋f(a)]＋[*]f’(x)－f(x)＝[*]f’(x)－[*][f(x)－f(a)] ＝[*](x－a)[f’(x)－f’(η)]，其中a≤η≤x， 因为f”(x)≥0，所以f’(x)单调不减，于是φ’(x)≥O(a≤x≤b)， 由[*]得φ(b)≥0，于是[*]f(x)dx≤[*][f(a)＋f(b)]， 故(b－a)f([*])≤[*]f(x)dx≤[*][f(a)＋f(b)]．
解析
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考研数学三

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