设f(x)在区间[a,b]上二阶可导且f"(x)≥0.证明: (b-a)f()≤f(x)dx≤[f(a)+f(b)].

admin2019-11-25  32

问题 设f(x)在区间[a,b]上二阶可导且f"(x)≥0.证明:
(b-a)f()≤f(x)dx≤[f(a)+f(b)].

选项

答案由泰勒公式得f(x)=f([*])+f’([*])(x-[*])+[*](x-[*])2,其 中ξ介于x与[*]之间,因为f”(x)≥0,所以有f(x)≥f([*])+f’([*])(x-[*]), 两边积分得[*]f(x)dx≥(b-a)f([*]). 令φ(x)=[*][f(x)+f(a)]-[*]f(t)dt,且φ(a)=0, φ’(x)=[*][f(x)+f(a)]+[*]f’(x)-f(x)=[*]f’(x)-[*][f(x)-f(a)] =[*](x-a)[f’(x)-f’(η)],其中a≤η≤x, 因为f”(x)≥0,所以f’(x)单调不减,于是φ’(x)≥O(a≤x≤b), 由[*]得φ(b)≥0,于是[*]f(x)dx≤[*][f(a)+f(b)], 故(b-a)f([*])≤[*]f(x)dx≤[*][f(a)+f(b)].

解析
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