设函数f(x)在[0,π]上连续,且∫0πf(x)dx=∫0πf(x)cosxdx=0。试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0。

admin2017-12-29  31

问题 设函数f(x)在[0,π]上连续,且∫0πf(x)dx=∫0πf(x)cosxdx=0。试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0。

选项

答案令F(x)=∫0xf(t)dt,0≤x≤π,则有F(0)=0,F(π)=0。又因为 0=∫0πf(x)cosxdx =∫0πcosxdF(x)= F(x)cosx|0π+∫0πF(x)sinxdx =∫0πF(x)sinxdx, 所以存在ξ∈(0,π),使F(ξ)sinξ=0,不然,则在(0,π)内F(x)sinx恒为正或恒为负,与 ∫0πF(x)sinxdx=0矛盾,但当ξ∈(0,π)时sinξ≠0,故F(ξ)=0。 由以上证得,存在满足0<ξ<π的ξ,使得F(0)=F(ξ)=F(π)=0。 再对F(x)在区间[0,ξ],[ξ,π]上分别应用罗尔定理知,至少存在ξ1∈(0,ξ),ξ2∈(ξ,π), 使得F’(ξ1)=F’(ξ2)=0,即f(ξ1)=f(ξ2)=0。

解析
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