首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设函数f(x)在[0,π]上连续,且∫0πf(x)dx=∫0πf(x)cosxdx=0。试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0。
设函数f(x)在[0,π]上连续,且∫0πf(x)dx=∫0πf(x)cosxdx=0。试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0。
admin
2017-12-29
53
问题
设函数f(x)在[0,π]上连续,且∫
0
π
f(x)dx=∫
0
π
f(x)cosxdx=0。试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ
1
,ξ
2
,使f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0。
选项
答案
令F(x)=∫
0
x
f(t)dt,0≤x≤π,则有F(0)=0,F(π)=0。又因为 0=∫
0
π
f(x)cosxdx =∫
0
π
cosxdF(x)= F(x)cosx|
0
π
+∫
0
π
F(x)sinxdx =∫
0
π
F(x)sinxdx, 所以存在ξ∈(0,π),使F(ξ)sinξ=0,不然,则在(0,π)内F(x)sinx恒为正或恒为负,与 ∫
0
π
F(x)sinxdx=0矛盾,但当ξ∈(0,π)时sinξ≠0,故F(ξ)=0。 由以上证得,存在满足0<ξ<π的ξ,使得F(0)=F(ξ)=F(π)=0。 再对F(x)在区间[0,ξ],[ξ,π]上分别应用罗尔定理知,至少存在ξ
1
∈(0,ξ),ξ
2
∈(ξ,π), 使得F’(ξ
1
)=F’(ξ
2
)=0,即f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/aGX4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
求下列函数的导数:y=aax+axx+axa+aaa(a>0);
若函数φ(x)及ψ(x)是n阶可微的,且φ(k)(x0)=ψ(k)(x0),k=0,1,2,…,n一1.又x>x0时,φ(n)(x)>ψ(k)(x0).试证:当x>x0时,φ(x)>ψ(x).
若函数f(x)一asinx+处取得极值,则a=________.
设ξ,n是相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知ξ的分布律为,i=1,2,3,又设X=max{ξ,η),Y=min{ξ,η),试写出二维随机变量(X,Y)的分布律及边缘分布律,并求P{ξ,η}.
设随机变量X与y相互独立,且X~N(0,1),Y~B(n,p)(0<p<1),则X+Y的分布函数()
已知是f(x)的原函数,则∫xf’(x)dx=________.
设函数y(x)(x≥0)二阶可导且y’(x)>0,y(0)=1.过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2,并设2S1~S2恒
证明:f(x,y)=Ax2+2Bxy+Cy2在约束条件g(x,y)=下有最大值和最小值,且它们是方程k2一(Aa2+Cb2)k+(AC—B2)a2b2=0的根.
函数f(x,y)=ln(x2+y2一1)的连续区域是________.
随机试题
自动电源自投入装置(BZT)是由哪几部分组成的?各部分的作用是什么?
Oceanographyhasbeendefinedas"Theapplicationofallsciencestothestudyofthesea".Beforethenineteenthcenturysc
下列不属于控制室内环境污染Ⅱ类的民用建筑的类型是()。
下列选项中,属于中国银监会负责监管的非银行金融机构的是()。
在乘车前往旅游景点的途中,地方导游应向旅游者介绍沿途的景物、风光,回答他们的问询,并相机介绍本地的风土人情和当日国内外重要新闻。()
马克思说:“火药、罗盘针、印刷术——这是预告资产阶级社会到来的三项伟大发明。”对这句话的正确理解是()。
阅读材料,回答问题。有一首歌这样唱道:“我不是你们说的那种,那种坏小孩,也不是你们说的那种虚伪的乖小孩。我现在的想法已经超出,超出你们的时代,请你们替我想想,这是属于我们的时代,好久以前我的脾气,就那么坏;好久以前我的叛逆,就像现在。请你们原谅我,不必为
教材是学生获取系统知识的重要工具,也是教师进行教学的主要依据。()
FormostpeopleBritain’sbouncingeconomy,nowgrowingatitsfastestforthreeyears,iscauseforcheer.Not,【C1】______forth
若需要为XV类重载乘法运算符,运算结果为XV类型,在将其声明为类的成员函数时,下列原型声明正确的是()。
最新回复
(
0
)