2. 考研
  3. 设曲线y=y(x)位于第一象限且在原点处与x轴相切，P(x，y)为曲线上任一点，该点与原点之间的弧长为l1，点P处的切线与y轴交于点A，点A，P之间的距离为l2，又满足x(3l1+2)=2(x+1)l2，求曲线y=y(x)．

设曲线y=y(x)位于第一象限且在原点处与x轴相切，P(x，y)为曲线上任一点，该点与原点之间的弧长为l1，点P处的切线与y轴交于点A，点A，P之间的距离为l2，又满足x(3l1+2)=2(x+1)l2，求曲线y=y(x)．

admin2021-10-08  55
问题 设曲线y=y(x)位于第一象限且在原点处与x轴相切，P(x，y)为曲线上任一点，该点与原点之间的弧长为l1，点P处的切线与y轴交于点A，点A，P之间的距离为l2，又满足x(3l1+2)=2(x+1)l2，求曲线y=y(x)．
选项
答案由已知条件得y(0)=0，y’(0)=0， [*] P(x，y)处的切线为Y—y=y’(X—x)， 令X=0，则Y=Y—xy’，A的坐标为(0，y一xy’)， [*] 由x(3l1+2)=2(x+1)l,得[*] 两边对x求导整理得1+y’2=2(x+1)y’y"， 令y’=P，y"=[*]，代入得1+P2=2(x+1)P[*] 变量分离得[*] 积分得ln(1+P2)=ln(x+1)+lnC1，即1+p2=C1(x+1)， 由初始条件得C1=1，即P=[*] 再由y(0)=0得C2=0，故所求的曲线为y2=[*]x3.
解析
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考研数学二

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