若二阶常系数线性微分方程y”+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，求非齐次方程y”+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的特解．

admin2021-08-05 29

问题若二阶常系数线性微分方程y”+ay’+by=0的通解为y=(C₁+C₂x)e^x，求非齐次方程y”+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的特解．

选项

答案由题设可知r=1是y”+ay’+by=0的二重特征根．因此特征方程为(r一1)²=0，即r²一2r+1=0，对应方程为y”+2y’+y=0，因此知a=一2，b=1．设y=Ax+B是y”一2y’+y=x的一个特解，将y^*代入方程可知A=1，B=2．因此y^*=x+2．原方程y”一2y’+y=x的通解为 y=(C₁+C₂x)e^x+x+2．由于y(0)=2，y’(0)=0可知C₁=0，C₂=一1．故所求特解为y=x(1一e^x)+2．

解析

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考研数学二

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