[2012年] 设区域D由曲线y=sinx，x=±π／2，y=1围成，则(xy5一1)dxdy=( )．

admin2019-05-10 42

问题 [2012年] 设区域D由曲线y=sinx，x=±π／2，y=1围成，则

(xy⁵一1)dxdy=( )．

选项 A、π
B、2
C、－2
D、－π

答案D

解析化成先y后x的二次积分求之，求时应充分利用区间的对称性及函数的奇偶性简化计算．

(xy⁵一1)dxdy=∫_-π/2^π/2dx∫_sinx¹(xy⁵－1)dy=∫_-π/2^π/2(

xy⁶一y)∣_sinx¹dx
=∫_-π/2^π/2(

xsin⁶x+sinx)dx．
由于(1／6)x sin⁶x，x及sinx均为[一π／2，π／2]上的奇函数，故
∫_-π/2^π/2

xdx=∫_-π/2^π/2xsin⁶x dx=∫_-π/2^π/2sinx dx=0
因而

(xy⁵一1)dxdy=∫_-π/2^π/2(一1)dx=(一1)

=一π．仅(D)入选．

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考研数学二

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