证明:(Ⅰ)对任意正整数n,都有成立; (Ⅱ)设an=,证明{an}收敛。

admin2018-12-29  32

问题 证明:(Ⅰ)对任意正整数n,都有成立;
(Ⅱ)设an=,证明{an}收敛。

选项

答案(Ⅰ)令[*],则原不等式可化为[*]<ln(1+x)<x,x>0。 先证明ln(1+x)<x,x>0。 令f(x)=x—ln(1+x)。由于f′(x)=[*]>0,x>0,可知f(x)在[0,+∞)上单调递增。又由于f(0)=0,所以当x>0时,f(x)>f(0)=0。也即ln(1+x)<x,x>0。 [*] 可知g(x)在[0,+∞)上单调递增。又因g(0)=0,所以当x>0时,g(x)>g(0)=0。即 [*] 再代入[*]=x,即可得到所需证明的不等式。 (Ⅱ)an+1—an=[*],可知数列{an}单调递减。 又由不等式[*],可知 an=[*] =ln(n+1)—lnn>0, 因此数列{an}是有界的。由单调有界收敛定理可知数列{an}收敛。

解析
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