证明：(Ⅰ)对任意正整数n，都有成立； (Ⅱ)设an=，证明{an}收敛。

admin2018-12-29 79

问题证明：(Ⅰ)对任意正整数n，都有

成立；
(Ⅱ)设a_n=

，证明{a_n}收敛。

选项

答案(Ⅰ)令[*]，则原不等式可化为[*]＜ln(1+x)＜x，x＞0。先证明ln(1+x)＜x，x＞0。令f(x)=x—ln(1+x)。由于f′(x)=[*]＞0，x＞0，可知f(x)在[0，+∞)上单调递增。又由于f(0)=0，所以当x＞0时，f(x)＞f(0)=0。也即ln(1+x)＜x，x＞0。 [*] 可知g(x)在[0，+∞)上单调递增。又因g(0)=0，所以当x＞0时，g(x)＞g(0)=0。即 [*] 再代入[*]=x，即可得到所需证明的不等式。 (Ⅱ)a_n+1—a_n=[*]，可知数列{a_n}单调递减。又由不等式[*]，可知 a_n=[*] =ln(n+1)—lnn＞0，因此数列{a_n}是有界的。由单调有界收敛定理可知数列{a_n}收敛。

解析

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