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设f(χ)在(a,b)内可导,证明:χ,χ0∈(a,b)且χ≠χ0时,f′(χ)在(a,6)单调减少的充要条件是 f(χ0)+f′(χ0)(χ-χ0)>f(χ). (*)
设f(χ)在(a,b)内可导,证明:χ,χ0∈(a,b)且χ≠χ0时,f′(χ)在(a,6)单调减少的充要条件是 f(χ0)+f′(χ0)(χ-χ0)>f(χ). (*)
admin
2017-12-23
30
问题
设f(χ)在(a,b)内可导,证明:
χ,χ
0
∈(a,b)且χ≠χ
0
时,f′(χ)在(a,6)单调减少的充要条件是
f(χ
0
)+f′(χ
0
)(χ-χ
0
)>f(χ). (*)
选项
答案
必要性:设(*)成立,[*]χ
1
,χ
2
∈(a,b)且χ
1
<χ
2
[*] f(χ
2
)<f(χ
1
)+f′(χ
1
)(χ
2
-χ
1
),f(χ
1
)<f(χ
2
)+f′(χ
2
)(χ
1
-χ
2
). 两式相加[*][f′(χ
1
)-f′(χ
2
)](χ
2
-χ
1
)>0 [*](χ
1
)>f′(χ
2
),即f′(χ)在(a,b)单调减少. 充分性:设f′(χ)在(a,b)单调减少.对于[*]χ,χ
0
∈(a,b)且χ≠χ
0
,由微分中值定理得 f(χ)-[f(χ
0
)+f′(χ
0
)(χ-χ
0
)]=[f′(ξ)-f′(χ
0
)](χ-χ
0
)<0, 其中ξ在χ与χ
0
之间,即(*)成立.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ahk4777K
0
考研数学二
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