2. 考研
  3. 设f(χ)在(a，b)内可导，证明：χ，χ0∈(a，b)且χ≠χ0时，f′(χ)在(a，6)单调减少的充要条件是 f(χ0)＋f′(χ0)(χ－χ0)＞f(χ)． (*)

设f(χ)在(a，b)内可导，证明：χ，χ0∈(a，b)且χ≠χ0时，f′(χ)在(a，6)单调减少的充要条件是 f(χ0)＋f′(χ0)(χ－χ0)＞f(χ)． (*)

admin2017-12-23  23
问题 设f(χ)在(a，b)内可导，证明：χ，χ0∈(a，b)且χ≠χ0时，f′(χ)在(a，6)单调减少的充要条件是
    f(χ0)＋f′(χ0)(χ－χ0)＞f(χ)．    (*)
选项
答案必要性：设(*)成立，[*]χ1，χ2∈(a，b)且χ1＜χ2[*] f(χ2)＜f(χ1)＋f′(χ1)(χ2－χ1)，f(χ1)＜f(χ2)＋f′(χ2)(χ1－χ2)． 两式相加[*][f′(χ1)－f′(χ2)](χ2－χ1)＞0 [*](χ1)＞f′(χ2)，即f′(χ)在(a，b)单调减少． 充分性：设f′(χ)在(a，b)单调减少．对于[*]χ，χ0∈(a，b)且χ≠χ0，由微分中值定理得 f(χ)－[f(χ0)＋f′(χ0)(χ－χ0)]＝[f′(ξ)－f′(χ0)](χ－χ0)＜0， 其中ξ在χ与χ0之间，即(*)成立．
解析
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考研数学二

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