设f(x)在[a，b]三次可微，证明：∈(a，b)，使得 f(b)=f(a)+(b-a)2f’’’(ξ)．

admin2019-06-28 42

问题设f(x)在[a，b]三次可微，证明：

∈(a，b)，使得
f(b)=f(a)+

(b-a)²f’’’(ξ)．

选项

答案将f(x)在x₀=[*]展成二阶泰勒公式并分别令x=b与x=a得 [*] 其中ξ₁，ξ₂∈(a，b)．上面两式相减得 f(b)-f(a)=[*][f’’’(ξ₁)+f’’’(ξ₂)](b-a)³．注意：[*][f’’’(ξ₁)+f’’’(ξ₂)]介于f’’’(ξ₁)与f’’’(ξ₂)之间，由导函数取中间值定理，可得[*]∈(a，b)，使得[*]因此得证．

解析

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