设f(x)在[a,b]三次可微,证明:∈(a,b),使得 f(b)=f(a)+(b-a)2f’’’(ξ).

admin2019-06-28  37

问题 设f(x)在[a,b]三次可微,证明:∈(a,b),使得
f(b)=f(a)+(b-a)2f’’’(ξ).

选项

答案将f(x)在x0=[*]展成二阶泰勒公式并分别令x=b与x=a得 [*] 其中ξ1,ξ2∈(a,b).上面两式相减得 f(b)-f(a)=[*][f’’’(ξ1)+f’’’(ξ2)](b-a)3. 注意:[*][f’’’(ξ1)+f’’’(ξ2)]介于f’’’(ξ1)与f’’’(ξ2)之间, 由导函数取中间值定理,可得[*]∈(a,b), 使得[*]因此得证.

解析
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